Algorithm 求偏序集极大元的有效算法

我有一个偏序集，比如说

a=[x1，x2，…]

，这意味着对于集合中的每个

xi

和

xj

，

xi==xj

，

xi

，或者

xi

和

xj

是不可比的

我想找到最大元素（即那些元素

xi

，其中没有元素

xj

的元素

xi

）。实现这一点的有效算法是什么（尽量减少比较次数）？我尝试构建一个DAG并进行拓扑排序，但仅仅构建图形就需要O（n^2）比较，这太多了

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我是用Python来做这件事的，但是如果你不知道，我可以阅读其他语言或伪代码。

看起来最糟糕的情况是O（n^2），不管你做什么。例如，如果没有可比较的元素，则需要将每个元素与每个其他元素进行比较，以确定它们都是最大的

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如果你允许O（n^2），因为排序是可传递的，你可以只通过集合一次，保留一个到目前为止最大元素的列表；每个新元素都会剔除在最坏的情况下，你不能比O（n^2）快。事实上，要检查偏序集的所有元素都是最大的，其中没有可比较的元素，您需要比较每对元素。所以在最坏的情况下，它肯定是二次的如果你不比较席和XJ，你不能肯定地说它们是否都是最大的，或者只有一个是。 因此，必须检查所有可能的（n选择2）（O（n2））比较

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注意：这假设您的偏序集是用一个黑框指定的，该黑框将进行比较。如果偏序集以图形的形式给出，则随后可以在sub-O（n2）时间内找到最大元素集。

正如其他答案所指出的，最坏情况的复杂性是O（n^2）

然而，有一些启发式方法在实践中可以帮助很多。例如，如果集合A是Z^2（整数对）的子集，那么我们可以通过以下方法预先消除许多点：

沿x轴排序（对于给定的x值，例如1，找到该点 使用“最大y值”，对所有x值重复该操作），以获得一组候选值 极大值，称之为y极大值

类似地，得到集合x-极大值

相交以获得最终候选集xy最大值

这是成本O（n）。很容易看出，任何极大点都会出现在xy极大值中。但是，它可以包含非最大点。例如，考虑集合{（1,0），（0，1），（2，2）}。

根据您的情况，这可能是一个足够好的启发。您可以在较小的xy最大值集上使用穷举算法进行后续操作

更一般地说，这个问题被称为“帕累托边界”计算问题。以下是一些很好的参考资料：

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特别是第一个引用的最佳算法是非常有用的。< /p>是不应该禁止席奚XJ的吗？“这个想法是，如果任何两个元素是可比较的，那么它们都是有序的。”Vallentin阅读了这个问题。我试着建立一个图表并进行拓扑排序。@RussellZahniser我不确定我是否理解你的评论，但当然

x

是允许的。否则你就没有顺序，只有一组不可比较的元素。我知道你的偏序集是作为元素列表和返回-1，0，1或无的比较函数给出的。是吗？我怀疑，但还不能正式证明，O（n^2）有一个信息论的下界，因为我认为总共有大约2^（n^2）个可能的偏序，每次比较只能让你消除大约50%的偏序。这与排序下限证明有关：由于元素有大约2^（n logn）的可能排序，因此需要n logn比较来排序。也许该算法实际上很好，我只是对DAG进行了过度思考。我希望最大元素很少（99%的时候，应该只有一个）。事实上，如果最大元素集变得太大，我必须开始考虑新的排序，我可以将其放在集合上，使其再次变小。算法的效率比最坏情况下的复杂度要高得多。例如，比较排序完全有序集的算法，bubblesort和quicksort都有O（n^2）最坏情况复杂性。然而，快速排序的平均复杂度要高得多。在此基础上，您确信您的算法是有效的吗？