Algorithm O（1）确定节点是否是多路树中另一个节点的后代的算法？

想象一下下面的树：

    A
   / \
  B   C
 / \   \
D   E   F

我正在寻找一种方法来查询例如F是否是a的后代（注意：F不需要是a的直接后代），在这种特殊情况下，这是正确的。只有有限数量的潜在父节点需要针对更大的潜在子节点池进行测试

测试节点是否是潜在父池中节点的后代时，需要针对所有潜在父节点进行测试

这是a提出的：

• 将多路树转换为trie，即为上述树中的每个节点分配以下前缀：

   A = 1
   B = 11
   C = 12
   D = 111
   E = 112
   F = 121
  

• 然后，为每个可能的前缀大小保留一个位数组，并添加要测试的父节点，即，如果将C添加到潜在的父节点池中，则执行以下操作：

    1    2    3  <- Prefix length
  
  *[1]  [1]  ...
   [2] *[2]  ...
   [3]  [3]  ...
   [4]  [4]  ...
   ...  ...
  

  是的，F是C的后代

这个测试似乎是最坏的情况O（n），其中n=最大前缀长度=最大树深度，因此它的最坏情况正好等于向上移动树并比较节点的明显方式。但是，如果被测试节点位于树的底部附近，而潜在的父节点位于树的顶部，则执行效果会更好。结合这两种算法可以缓解两种最坏情况。然而，内存开销是一个问题

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还有别的方法吗？非常感谢任何指点

我不知道这是否适合您的问题，但在数据库中存储层次结构的一种方法是使用quick“从此节点和向下提供一切”功能存储“路径”

例如，对于如下所示的树：

    +-- b
    |
a --+       +-- d
    |       |
    +-- c --+
            |
            +-- e

假设上面树中的字母是每行的“id”，则按如下方式存储行：

id    path
a     a
b     a*b
c     a*c
d     a*c*d
e     a*c*e

要查找特定节点的所有后代，您需要在路径列上执行“STARTSWITH”查询，即路径以

a*c*

开头的所有节点

要确定某个特定节点是否是另一个节点的后代，可以查看最长路径是否以最短路径开始

例如：

• e是a的后代，因为a*c*e以a开头
• d是c的后代，因为

  a*c*d

  以

  a*c

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这在您的实例中有用吗？

对于M-way树，而不是位数组，为什么不在每个节点上存储二进制“trie id”（每级使用M位）？对于您的示例（假设M==2）：

A=0b01，B=0b0101，C=0b1001，…

然后您可以在O（1）中进行测试：

如果您有一个返回最高有效位集位置的fast函数，则可以将存储压缩到每级ceil（lg2（M））位：

mask = (1<<( FindMSB(parent->id)+1) ) -1;
retunr (child->id&mask == parent->id);

mask=（1id&mask==parent->id）；

遍历任何树都需要“树的深度”步骤。因此，如果您保持平衡的树结构，那么可以证明，您的查找操作将需要O（logn）操作。据我所知，你的树看起来很特别，你不能以一种平衡的方式保持它，对吗？所以O（n）是可能的。但无论如何，在创建树的过程中，这是不好的，因此您可能会在使用查找之前死亡

根据与插入操作相比，您需要执行查找操作的频率，您可以决定在插入操作期间付费，以维护额外的数据结构。如果你真的需要摊销O（1），我建议使用散列法。在每次插入操作中，您都会将节点的所有父节点放入哈希表中。根据您的描述，这可能是给定插入中的O（n）项。如果您不插入，这听起来很糟糕（朝向O（n^2）），但实际上您的树不能降级到如此糟糕的程度，因此您可能会得到O（n log n）的摊销总hastable大小。（实际上，logn部分取决于树的退化程度。如果您希望它的退化程度最大，请不要这样做。）

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因此，您将在每次插入时支付大约O（logn），并获得查找的哈希表效率O（1）。在预顺序遍历中，每一组子体都是连续的。以你为例,

A B D E C F
+---------+ A
  +---+ B
    + D
      + E
        +-+ C
          + F

如果可以进行预处理，则只需为每个节点编号并计算后代间隔

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如果您不能预处理，那么a将为更新和查询提供O（log n）性能。

您的输入树总是静态的吗？如果是这样，那么您可以使用最低共同祖先算法在O（1）时间内用O（n）时间/空间结构回答is后代问题。LCA查询提供两个节点，并询问哪个节点是树中的最低节点，其子树包含这两个节点。然后，您可以使用单个LCA查询回答IsDescendent查询，如果LCA（a，B）==a或LCA（a，B）==B，则其中一个是另一个的后代

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这将在不同的代码复杂度/效率级别上对问题和一些解决方案进行彻底的讨论

只需使用两个辅助数组，就可以在固定时间内回答形式为“节点A是节点B的后代吗？”的查询

通过访问深度优先顺序对树进行预处理，并将每个节点的访问开始和结束时间存储在两个数组Start[]和End[]中

因此，假设End[u]和Start[u]分别是节点u的访问的结束时间和开始时间

那么节点u是节点v的后代当且仅当：

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开始[v]看看选择非常有效，但更新速度太慢

这正是我的建议，仅针对数据库，据我所知：）在本机实现中，StartWith将是缓慢的部分-对于最大前缀长度为n的m个潜在父节点，我认为这将是O（nm），然而，位阵列使其成为O（n），以牺牲指数内存增长为代价：（路径长度可能是O（log（n）

mask = (1<<( FindMSB(parent->id)+1) ) -1;
retunr (child->id&mask == parent->id);

A B D E C F
+---------+ A
  +---+ B
    + D
      + E
        +-+ C
          + F