Algorithm DFS中的等价关系

我正在阅读下面链接中关于强连接组件的内容

这里作者提到

回想一下，关系是对象对集合的另一个词（如果您愿意，可以将关系视为有向图，但不是我们用来定义连接性的同一个图）。等价关系a#b是满足三个简单性质的关系：

• 自反性质：对于所有a，a#a。根据定义，任何顶点都与自身强连接
• 对称性：如果a#b，那么b#a。对于强连通性，这源于定义的对称性。同样的两条路径（一条从a到b，另一条从b到a）表明a~b，按另一个顺序看（一条从b到a，另一条从a到b），表明b~a
• 传递性质：如果a#b和b#c，那么a#c。让我们将其展开以获得强连通性：如果a~b和b~c，我们有四条路径：a-b、b-a、b-c和c-b。将它们成对地连接在a-b-c和c-b-a中会产生连接a-c和c-a的两条路径，因此a~c，这表明传递属性适用于强连通性

由于这三个性质都适用于强连通性，因此强连通性是一种等价关系

请注意，对于我们的定义来说，允许路径a-b和b-a重叠是至关重要的。如果我们做了一个小的改变，比如定义两个顶点，如果它们是有向循环的一部分，那么我们将无法连接路径并显示传递属性成立

我的问题是关于最后一句话：作者所说的我们允许路径a-b和b-a重叠是什么意思

此外，作者的意思是什么：“如果我们做了一个小小的改变，比如定义两个顶点，如果它们是有向循环的一部分，那么我们将无法连接路径并显示传递属性成立”

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感谢您的时间

定向循环通常意味着简单的定向循环（无重复）

考虑图表

G=（V，E）

V={A，B，C，D}

E={（A，B）、（B，D）、（D，C）、（C，B）、（D，A）}

（画出来，应该会有帮助，注意这些边是元组，因此是定向的）

如果连通性被定义为“属于同一个简单循环”，那么我们可以说A和B通过ABDA相连。B和C通过BDCB连接

如果这种连通性是可传递的，那么由于可传递性的定义，我们可以得出A和C必须是连通的结论

根据我们（修改过的，松散的）连通性定义，必须存在一个包含a和C的简单循环

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当然，没有，不可能连接为A和B以及B和C所做的循环，因为在连接它们时必须重复边缘BD。

通过手头的图片更容易理解这一点：

在无向图中，如果两个顶点有一条连接它们的路径，则它们是连接的。我们应该如何定义有向图中的连通？ 如果存在两条路径，一条从a到b，另一条从b到a，我们说顶点a与b是强连通的

作者在这里指出，如果有向路径连接顶点a与b以及有向路径连接顶点b与a，我们在有向图中定义强连通性

单向图没有箭头（方向），有向图有箭头，请参见下面的链接：

现在让我们参考提供的链接中的图片。在有向图中，顶点Han和Lea是强连通的，因为存在从Han到Lea和从Lea到Han的有向路径

下面是文章中及物性的定义：

传递性质：如果a#b和b#c，那么a#c。让我们将其展开以获得强连通性：如果a~b和b~c，我们有四条路径：a-b、b-a、b-c和c-b。将它们成对地连接在a-b-c和c-b-a中会产生连接a-c和c-a的两条路径，因此a~c，这表明传递属性适用于强连通性。 由于这三个性质都适用于强连通性，因此强连通性是一种等价关系

这是对称属性的扩展，请再次参考图片链接。现在，如果莱娅和卢克之间有一条有方向的路径，那么韩和卢克将是过渡连接的

请注意，对于我们的定义来说，允许路径a-b和b-a重叠是至关重要的。如果我们做了一个小的改变，比如定义两个顶点，如果它们是有向循环的一部分，那么我们将无法连接路径并显示传递属性成立

最后，如果在有向图中定义了强连通性，使得顶点a和b是连通的，如果从a到b只有一条有向路径，而不需要有从b到a的连接形式，那么我们永远无法从c回到a，这是传递性所必需的

如果你再看一次图片，想象莱娅和卢克是相连的（反向），一旦你从韩->莱娅->卢克，你就无法回到韩-传递性不成立

因此，强连通性的定义要求顶点之间在两个方向上都有一条有向路径，否则传递性就不可能存在

由于这三个性质都适用于强连通性，因此强连通性是一种等价关系

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传递性属性必须对有向图中的强连通性有效，否则上述结论将不可能。

“如果有一条从a到b的单一有向路径，没有要求存在从b到a的连接形式，那么我们就永远无法回到传递性所需的a。”这实际上是对称性，不是传递性。我不是在听你的话“如果这种连接是传递性的，那么A和C也必须在