Algorithm 闭合多边形链与直线的交点

我需要找到找到闭合多边形链和直线的2个交点的算法。 我的多边形链被定义为一个设定点坐标（x，y），我还有直线方程

准确地说，请看下图。我的输入是直线方程和

P1…Pn

。我想找到点X1和X2的坐标

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给定该直线的方程式为

a*x+b*y+c=0

，您可以找出该直线的哪一侧是每个点，只需将该点的x，y坐标插入该表达式中即可：

S_k = a*x_k + b*y_k + c

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对于直线上的点，结果

S_k

为0（符合直线方程）。对于线一侧的点，结果将大于0，对于线另一侧的点，结果将小于0。按顺序对每个点执行此操作，直到符号切换：

S_k*S_{k-1}<0

。这条线在

P_k

和

P_{k-1}

之间交叉

最初的问题是：给定a中的一组点和一条直线的方程，找到所有交点

我们必须谨慎地设计一种算法来解决这个问题，因为我们不假设： *直线的方程式具有实斜率和非零斜率，或 *多边形链是简单的或自相交的，无论它是绑定到凹多边形还是凸多边形

例如，考虑直线的方程式为

x=a

，这意味着它的斜率为∞, i、 e.与y轴平行：

这里，我们不能通过在直线方程中插入Pi和Pi+1来测试交点（它们给出了相同的值！）

此外，该示例还说明了为什么无法通过任一直线是否垂直来求解交点Xi

提供解决所有情况的简单算法将涉及通过多边形边界框剪裁直线，并解决生成的线段与多边形每条边之间的交点

算法：

设V为二维欧几里德空间（R2）中闭合多边形链的n点集，P1，…，Pn，且L为直线，也位于R2中，由以下形式的线性方程描述：

其中a、b和c是已知的实标量，a和b不是都为零

计算P1，…，Pn的边界框。注意：轴对齐的最小边界框是最简单的，可以轻松计算：

设X=V和V中点的X分量集 Y=V中点的Y分量集

定义轴对齐最小边界框顶点的闭合多边形链为： （最小（X），最小（Y））， （最大（X），最小（Y））， （最大值（X），最大值（Y））， （最小（X），最大（Y））， （最小（X），最小（Y））

通过刚才计算的边界框剪裁线L，以生成线段L'，该线段由向量对u和v和标量t描述：

要查找u和v，我们必须计算直线与边界框每条边相交的位置：

Let B = the closed polygonal chain defining the vertices of the axis-aligned rectangular bounding box we just calculated, with B(i) = the i-th point in the chain.

For i = 1 to 4:
    Let j = i + 1. Then:
        xi = the x component of Bi
        yi = the y component of Bi
        xj = the x component of Bj
        yj = the y component of Bj

    If xi == xj: # The edge is vertical
        Let xk = xi.

        If b != 0:
            yk = (c - a * xk) / b # Calculate the y component of the line at xk

            If (yi <= yk AND yk <= yj) OR (yj <= yk AND yk <= yi):
                The line intersects at (xk, yk)!

        Else: # b == 0, implying a vertical line
            If xk == c / a:
                The vertical line is at xk, so define two intersecting points as the ends of the line segment:
                (xk, yi) and (xk, yj)

    Else If yi == yj: # the edge is horizontal
        Let yk = yi.

        If a != 0:
            xk = (c - b * yk) / a # Calculate the x component of the line at yk

            If (xi <= xk AND xk <= xj) OR (xj <= xk AND xk <= xi):
                The line intersects at (xk, yk)!

        Else: # a == 0, implying a horizontal line
            If yk == c / b:
                The horizontal line is at yk, so define two intersecting points as the ends of the line segment:
                (xi, yk) and (xj, yk)

当线段处于参数化形式时，查找线段之间的交点很容易。基本上，两条线段相互正交投影，并检查特殊情况

提出了一种求一对线段交点的算法

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为了获得更深入的解释，我们将详细介绍线段相交算法。

您不能在此处直接编写make，这与使用$$表示TeX不同。但是，您可以使用backticks`编写使用固定宽度字体的简单公式，例如

S_k*S_{k-1}<0

。

For i = 1 to n - 1:
    Let p = V(i) and
        q = V(i + 1) - V(i),
    such that p and q are the end points of the edge/line segment between vertices i and i + 1.

    With u and v from the last step, find any intersecting points between the line segments:
        u + t * v, and
        p + s * q,
    where s is a scalar and 0 <= s <= 1.