Algorithm 一个图可能有多个最小生成树

设G=（V，E）是一个无向图，其所有边都具有唯一的权重。是真的吗

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G有一个唯一的MST吗？或者G也可以有多个MST？

根据MST的定义（来源：）-

最小生成树（MST）或最小权值生成树是一个连通的、边加权的无向图的边的子集，它将所有顶点连接在一起，没有任何圈，并且具有最小可能的总边权值

目标是覆盖所有顶点，同时拥有最低的边权重和。而且，生成树（ST）是一棵树，因此没有循环-

在上图中，橙色树是STs，但只有顶部的树可以是MST（边权重和为7）

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编辑

矛盾证明：

设图为具有唯一边权的无向图。设和为图的两棵不同的最小生成树

让重量最低的边出现在中，但不在中。同样地，让我们成为边缘，但不是边缘

现在，由于边权重是唯一的，没有失去一般性，让我们来看看

此外，如果我们加上，一个循环将形成与。要删除循环，让我们从中删除边。因此，我们有一个生成树

这个ST，现在总重量小于；但是，这是一个矛盾，因为，已经是MST了

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因此，我们假设，有两个MST开始是错误的。根据MST的定义，证据到此结束。

（来源：）-

最小生成树（MST）或最小权值生成树是一个连通的、边加权的无向图的边的子集，它将所有顶点连接在一起，没有任何圈，并且具有最小可能的总边权值

目标是覆盖所有顶点，同时拥有最低的边权重和。而且，生成树（ST）是一棵树，因此没有循环-

在上图中，橙色树是STs，但只有顶部的树可以是MST（边权重和为7）

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编辑

矛盾证明：

设图为具有唯一边权的无向图。设和为图的两棵不同的最小生成树

让重量最低的边出现在中，但不在中。同样地，让我们成为边缘，但不是边缘

现在，由于边权重是唯一的，没有失去一般性，让我们来看看

此外，如果我们加上，一个循环将形成与。要删除循环，让我们从中删除边。因此，我们有一个生成树

这个ST，现在总重量小于；但是，这是一个矛盾，因为，已经是MST了

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因此，我们假设，有两个MST开始是错误的。证据到此结束。

答案可能是

否
；多个STs是可能的（取决于图表），但是，如果每条边都有一个
唯一的权重
，则只能有一个MST。@anurag您能进一步说明吗？还有其他不可能的原因吗？@anurag:我认为权重唯一性还不够。@YvesDaoust我目前无法想象当边具有唯一权重时可以生成多个MST的情况
Prim
和
Kruskal
算法只有在不存在唯一性约束的情况下才能生成不同的mst！MST是独一无二的，这里已经回答了这个问题：答案可能是
否
；多个STs是可能的（取决于图表），但是，如果每条边都有一个
唯一的权重
，则只能有一个MST。@anurag您能进一步说明吗？还有其他不可能的原因吗？@anurag:我认为权重唯一性还不够。@YvesDaoust我目前无法想象当边具有唯一权重时可以生成多个MST的情况
Prim
和
Kruskal
算法只有在不存在唯一性约束的情况下才能生成不同的mst！MST是独一无二的，问题已经在这里得到了回答：如果我错了，一定要让我知道！您只展示了一个示例，但问题是关于所有具有唯一权重的无向加权图。@MoB。为了证明任何概念是错误的，我们只需要一个反例。我明白，我的答案不是这样的，但是，这只是一个例子。MST的标准算法是Prim和Kruskal；而且它们没有唯一的边权重约束。如果我错了，一定要告诉我！您只展示了一个示例，但问题是关于所有具有唯一权重的无向加权图。@MoB。为了证明任何概念是错误的，我们只需要一个反例。我明白，我的答案不是这样的，但是，这只是一个例子。MST的标准算法是Prim和Kruskal；并且它们没有唯一的边权重约束。