Algorithm 计算数组中所有元素顺序的快速算法？

假设给你一个数组，数组由n个不同的元素组成，这些元素来自于一个完全有序的集合。例如，您可能会得到

137 13 7 42 38

目标是为这个元素数组生成一个匹配数组B，使得B[i]是原始数组中小于a[i]的元素数。例如，在上面的数组中，我们希望生成

A = 137  13   7  42  38
B =   4   1   0   3   2

因为137比其他四种元素（13、7、42、38）大，所以13只比其中一种元素（7）大，7比其他元素都大，以此类推

在最一般的情况下，如果数组中的元素是只能比较的任意对象，那么在最坏的情况下，该问题的任何解决方案都必须以Ω（n lg n）运行，因为一旦我们有了这个表，我们就可以通过创建一个由n个元素组成的新数组，在O（n）时间内对数组进行排序，然后将每个元素放置在表中指定的位置。然而，我不知道的是，当元素不是任意值时，我们构造这个表的速度有多快

我的问题是：假设您得到一个由n个不同的整数值组成的数组，并希望为该数组构造一个顺序统计表。这样做最有效的算法是什么？如果有帮助的话，可以假设整数为正，并且其中最大的值为U

---

目前，我拥有的最好的解决方案是O（n lg n）解决方案，它的工作原理是制作数组的副本，对其进行排序，然后对原始数组中的每个整数进行二进制搜索，以找到其在新数组中的位置。这是一个很好的解决方案，但我真的希望有更好的方法来实现这一点。

最有可能的情况是，将第一个数组中的所有元素组合为n^2-n，然后将每个元素与另一个元素进行比较，以找到第一个数字，并使用第二个数组对第一个数组中的每个数字重复此操作进行计数。

至少没有基于比较的方法解决这个问题的方法比O（n logn）更好，O（n logn）是一个通用的方法。（否则，您可以应用新的神奇过程，然后在B上迭代以构建a的排序版本）

---

但是，如果输入数组A的整数被限制在某个已知范围内，比如[1..M]，那么您可以通过标记出现在，记住它们在A中的位置，然后从索引1..M扫过L来构造B。

步骤1：对原始数组索引进行排序

A  = 137  13   7  42  38
I  =   0   1   2   3   4

A' =   7  13  38  42 137
I' =   2   1   4   3   0

步骤2：对于每个

I'[I]=j

分配

B[j]=I

I' =   2   1   4   3   0
i  =   0   1   2   3   4

B  =   4   1   0   3   2

---

这并没有改善big-O，但您的算法会执行两种不同的N-LogN操作。不要对数组本身进行排序，而是对

{value，originalIndex}

结构的数组进行排序

然后遍历排序的数组，执行

rank[sorted[i].originalIndex]=i

这只是一个N-LogN操作

如果U上有一个最大界，你可以用基数排序来得到O（kN）（假设你有内存）
一种方法是使用一个不完整的答案，但你可以用哪个是O（kN）来表示整数。@eulerfx-IIRC基数排序在O（n lg U）中运行，其中U是你要排序的最大整数。我相信如果你使用van-Emde-Boas树，你实际上可以把它降到O（n lg U），虽然常数因子可能要高得多。这是真的，但这是一个指数时间算法（因为M在输入中以对数M位表示）。我希望输入的大小是多项式的，当然，只有当M=o（n logn）时才有用。否则排序就可以了。这是可行的，但它是O（n^2），我已经有了一个通用的方法，即使输入不是整数，也可以在O（n lg n）中工作。请停止乞求向上投票。如果你的答案值得投票，你会得到的。问他们只是噪音，看起来很糟糕。@肯：你能解释一下为什么看起来很糟糕吗？你不习惯乞讨吗？我从哪里来，我乞求很多+1这是一个很好的解决方案。我没有想到保留原始索引。奇怪的是，第2步与第1步的索引排序操作完全相同，但可以在O（n）中进行鸽子洞排序。@fabrizioM-此链接似乎已断开；你能发布一个不同的链接吗？固定链接，签出postscript文件。而且这种方式是高度并行的，这就是GPU解决方案的工作方式。我刚刚开始浏览这篇文章，哇，这看起来像一个很酷的工具。我刚刚找到我下午要做的事。：-）哦，是的，绝对值得一看，值得一玩