Algorithm 使用分治法在大小为n的两个数据库中的第n个最小数

我们有两个大小为n的数据库，其中包含没有重复的数字。我们总共有2n个元素。可以通过查询一次访问一个数据库来访问它们。该查询是这样的，您给它一个k，它返回该数据库中第k个最小的条目。我们需要在O（logn）查询中的所有2n个元素中找到第n个最小的条目

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这个想法是使用分而治之，但我需要一些帮助来思考这个问题。谢谢

不久前我在资格考试中看到了这个问题，闻起来像是家庭作业问题。因此，我只提出两项建议：

• 学习二进制搜索，仔细注意循环不变量的精确性质。乔恩·本特利的书《编程珍珠》有一个很好的解释

• 尝试推广二进制搜索的不变量

• 用各种特殊情况画一幅画：
  • DB1中的每个数字都小于DB2中的每个数字
  • 反之亦然
  • DB1等于DB2
  • DB2中的每个数字都是DB1中相应数字的两倍

这是一个相当困难的问题；如果你直接去做正确性的证明，你会过得更轻松。

提示：

• 请注意，您的“数据库”实际上是两个排序的数组
• 从数组的“中间”提取元素并比较它们。比较的结果可能允许您“排除”某些部分

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我是这样想的。既然这是一个教育问题，我建议你停止阅读，如果其中任何一点让你想，“啊哈，我没有想到这一点，我可以自己进一步思考。”
1） 与sdcwc的观察结果相同：对于它是从0开始还是从1开始，可能会有轻微的争论，因此可以将数据库视为一个排序数组。我要元素0，我得到最小的。我要12个，我得到最小的13个。等等我发现这更容易想象
2） 我们知道我们在寻找一个O（logn）算法。这意味着粗略地说，我们在寻找两件事中的一件：
• 或者我们先计算最小的元素，然后计算第二小的、第四小的、第八小的，等等，直到我们达到我们想要的大小，每一步都是在恒定的时间内完成的。对我来说，这听起来不太可能

• 或者我们从一个大小为n的问题开始，然后我们执行一些恒定时间操作，这允许我们通过解决大小为n/2的问题来解决原始问题。显然，我们可以在恒定时间内解决n=1的问题，从而完成该算法。这听起来更有道理

实际上，它不一定每次都是n/2。它可以是n/3或999*n/1000，结果仍然是O（logn）。但首先寻找n/2并没有坏处
3） 我们将如何减少这样的问题？如果我们可以从一个数组或另一个数组的开头减去m个元素，使其小于第k个最小元素，那么我们可以找到结果数组对的第（k-m）个最小元素，它将是原始数组的第k个最小元素
4） 最后，突破性的观察结果是，如果阵列A的第m个最小元素小于阵列B的第m个最小元素，则A的第m个元素不可能是两个阵列组合的第（2m）个最小元素。它比这个值小（或者值相等：我不确定“no repeats”是指“每个数据库中都没有repeats”，还是“组合的数据库之间没有repeats”），因为两个数组中最多有2*（m-1）个元素严格小于它

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除非我犯了错误，否则其余的都是编码。当k是奇数时，用一个额外的小参数来解释off-by-1，这个解实际上是O（logk），这是O（logn），因为k@Tom：这种事情对于教授来说相当典型。当一位教授写下两条建议时，他想到了第三条。我想我要离开了：-）@Tom:两个建议：恐惧和惊讶，还有无情的效率。@Steve，@Tom:还有对教皇近乎狂热的忠诚！！！