Algorithm 递推关系：证明（n/2）+；（n/2）=O（n）

假设我有一个这样的算法：

void dummy_algorithm(int a[]) {
   int center = floor(a.length/2);
   //For reference purposes: Loop 1  
   for(int i = 0; i < center; i++) {
       //The best code you've ever seen
   }
   //Loop 2
   for(int j = center + 1; j < a.length; j++) {
      //Slightly less awesome code
   }
}

void dummy_算法（int a[]{
内部中心=楼层（a.长度/2）；
//供参考：循环1
对于（int i=0；i

这是很基本的东西。我知道这两个循环都会遍历数组的一半，因此每个循环的复杂性为（n/2）。然而，该方法所做的总功显然是O（n）

所以，我的问题是：我如何证明（通过递归关系）这个算法是O（n）？还是我完全错了

注意：我不能将两个循环合并为一个。它们执行最终进入递归调用的操作。任何你能想到的东西都是不允许的。这个问题有很多限制。

时间复杂度（以及是否需要递归关系）取决于您在循环中执行的操作，即

  (N/2) + (N/2)
= 2*(N/2)
= 2N/2
= N

//The best code you've ever seen (*complexity1*)

及

是

如果每次迭代只需要恒定的时间量，即O（1）中的复杂性1和复杂性2，则总复杂性将为n*O（1）=O（n）。这显示了真正的功能：从复杂度1和复杂度2等常量因素中抽象出来

如果每个迭代都需要O（f（n）），那么您的总时间复杂度将是O（n*f（n））

---

如果每次迭代都进行递归调用，即使用较小的参数调用

伪_算法

，则需要一个递归关系来计算时间复杂度。递归关系的外观取决于进行递归调用的频率以及使用什么参数。向您展示如何找到并解决适当的递归关系。

如果您真的在寻找O（x）+O（y）=O（x+y）的证明，它将沿着以下路线工作：

R1&in；O（x）∧ R2&in；O（y）
⇒ ∃ A.R1 ⇒ ∃ a、 b。R1 ⇒ ∃ a、 b。R1+R2 ⇒ ∃ a、 b。c=最大值（a，b）∧ R1+R2 ⇒ ∃ CR1+R2

---

⇒ R1+R2&in；O（x+y）

你真的需要证明O（n/2+n/2）在O（n）中吗？这就是我所说的平凡。你的代码使用两个循环，所以假设循环的内容都是

O（n）

，那么你实际上有

O（n）+O（n）

，这就是

O（2n）

，它与

O（n）

相同。递归关系是用来分析递归函数的。@Kolink（可能不是在证明时，而是在寻找答案时）。@Kolink

O（N/2）

所有标准代数规则都是完全有效的渐近数学。它恰好与

O（N）

相同。O（N）+O（N）不是O（2N）。它仍然是O（N）。@Sani:两者都是，因为O（2N）=O（N）忽略常数因子是大O的全部原因…这只显示O（x）+O（y）\n子部分O（x+y），但另一个方向是类似显示的。因此+1。谢谢大家！非常需要澄清！

 //Slightly less awesome code (*complexity2*)