Algorithm 使用什么算法将数字序列分割成n个子集，以最小化每个子集中数字总和的标准偏差

我正在寻找一种算法，将一个正数序列分割成n个子序列，这样每个子序列中的数字之和的标准偏差就最小化了

每个子序列中的数字顺序需要与原始序列中的顺序相同

例如：

假设我有一个序列{1,1,1,1,1,1,10,1}，我想把它分为两个子序列。
我相信最优解是{1,1,1,1,1,1}，{10,1}

第一个子序列的和为6，第二个子序列的和为11
这两个数字的标准偏差约为3.5，我认为这是可能的最低值

假设我有一个序列{4,1,1,1,1,6}，我想把它分成3个子序列。
我相信最优解是{4}，{1,1,1}，{6}
子序列之和为4、4和6。
这3个数字的标准偏差约为1.15，我认为这是可能的最低值

我能想到的最好的算法是找到序列中每个数字的累积和，并在[totalSum/numSubsequences]的每个间隔对序列进行分段

例如，给定序列{4,1,1,1,1,6}，每个序列的数的累积和为{4,5,6,7,8,14}。序列中所有数字的总数是14，因此，假设我需要3个子序列，当总数达到14/3=4.66和2*14/3=9.333时，我应该分段序列

但是，在序列中没有实际的位置，累积总数等于4.66-第一个累积总数为4，下一个累积总数为5。那么我应该向上取整还是向下取整？在这种情况下，四舍五入到4会给出最佳解决方案，但情况并非总是如此。我能想到的最好方法是尝试上下舍入的每一种组合，但这会导致O（2^numSubsequences）的复杂性

这似乎是一种可以应用预先存在的算法的东西，但是我的谷歌搜索失败了。我知道，它是NP完全的，但它处理的是无序集，而不是有序序列

---

任何帮助都将不胜感激。

我想到的一个想法是使用A*搜索算法

更多信息：

http://en.wikipedia.org/wiki/A*_search_algorithm

Artificial Intelligence: A Modern Approach by Stuart Russell and Peter Norvig

读一本关于这方面的好书：

http://en.wikipedia.org/wiki/A*_search_algorithm

Artificial Intelligence: A Modern Approach by Stuart Russell and Peter Norvig

有些东西你可以用在A*：

• 初始状态：将序列拆分为n个相等（尽可能多）的子序列
• 下一个状态：为每个子集添加左数或右数（子集i-1的最后一个数（如果i！=0）或子集i+1的第一个数（如果i！=n））（以创建当前状态节点的所有降序节点）
• 启发式：最佳值是所有值的平均值。它是可容许的，因此可以与*一起使用

我不确定这是否真的能帮你解决你的问题，因为我还没有解决这个问题，但我认为它可能会做得很好。对于这个特定的问题，它也可能不是最复杂的解决方案，但它肯定比任何“尝试所有组合”的方法都要好。它也是健全和完整的（因为允许的启发式）

---

如果您对此有更多问题，请提问，我将尽力帮助您。

我想您的意思是划分为连续的块，或者换言之，找到n-1个位置，在其中将序列分割为多个部分。（如果您真的想让交错的子序列创建主序列，那么您可能只需要对序列进行排序，解决块问题，然后跟踪各个数字的来源，以提供交错的子序列）

---

我认为你可以用动态规划来解决这个问题，时间与序列长度的n倍成正比。从左到右填充bestCost[i][j]和lastCut[i][j]的数组，其中i沿着序列运行，j从0运行到n-1。bestCost[i][j]是将序列从0到i分割成j个块的最佳方法的成本。lastCut[i][j]是产生最佳成本[i][j]的切割的最新切割位置。最佳成本[i+1][j]=最小标准偏差（i+1到k）+最佳成本[k-1][j-1]。然后lastCut[i+1][j]=k。最后，您以相同的方式计算出n个切割的最佳答案的成本，然后使用lastCut[][]追溯到其他切割。

假设原始序列的长度为

L

，子序列的数量为

n

你可以得到

sqrt（E[X^2]-E[X]^2）

，其中

E

表示期望值/平均值，

X

表示你的随机变量——在你的例子中，是子序列的和。（一个类似的公式适用于“样本标准偏差”。）请注意，

E[X]

并不取决于您如何分割序列，因为它始终是总和除以

N

。因此，我们只想最小化

E[X^2]

，或者等价地，最小化

X^2

之和（根据平均值的定义，它们的差异系数为

N

）

---

在这一点上，我们可以看到这个问题可以用动态规划来解决。设

f（i，j）

，对于

i

从

0

到

M

和

j

从

1

到

N

，是序列的第一个

i

元素分裂成

j

子序列的子序列和的最小平方和。然后我们看到，

f（i，j）

可以用

f（i'，j'）

和

i'计算，我同意动态规划可能是最好的方法-我要排除的一种技术是非线性优化。你有一个非线性目标函数，不管你是最小化平方根还是仅仅是平方差之和。您还有一个整数变量作为约束集的一部分-赋值