Algorithm 一种求解矛盾生成树的新算法的最优性证明

下面是一个查找生成树的算法：

STNew(G, w)
   Z ← empty array
   for each edge e in E, taken in random order do
       Z ← Z ∪ e
       if Z has a cycle c then
           let e' be a maximum-weight edge on c
           Z ← Z − e'
   return (Z)

这个算法总是返回生成树吗

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我会说是的。它看起来有点像乔装的Kruskals算法

我试图用矛盾来证明这一点。见下文

假设Z不是生成树。这意味着图表中存在循环或断开连接。由于算法的第4行，因此不能有循环

但现在，我如何证明没有断开连接

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作为一个对图论相当陌生的人，除此之外，我真的没有什么别的想法。有人会有什么想法或建议吗？

是的，算法总是会找到生成树（如果存在这种树，即图形有一个源）。但不确定是否找到了最小生成树。您已经证明结果图中没有循环，因此我们只需要显示连接性

证明结果图是连通的：

假设不是，并且有（至少）2个连接的组件U1、U2。
原始图形是连接的，因此有一些边连接

U1

，而

U2

，让它成为

e

。检查选择了

e

并将其添加到

Z

的点。
现在，由于

U1

和

U2

未连接，因此有一点

e

已被删除（否则它们已连接）。当我们迭代某个边

e'

时，就让它这样吧。所涉及的循环包含

e

（因为它已被移除），因此它包含

u1

中的节点

u1

，以及

u2

中的节点

u2

，从而

e=（u1，u2）

。W.L.O，让循环为

u1-v1-v2-…-vk-u2-u1

。但请注意，在删除

e

后，仍然有一个路径

u1-v1-v2-…-vk-u2

连接

u1

和

u2

，因此组件仍然是连接的。这对于将来的任何迭代都是正确的，这意味着组件

U1

和

U2

在结果图中是连接的。
矛盾

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QED

我们讨论的是有向图还是无向图？该算法不适用于有向图。这将适用于无向图。Thansk但是，嗯，我发现这个证明有点难理解。@britney它有点长，因为它非常简化为小步骤。通读一遍，如果你有误解的具体步骤，请告诉我。另外一件事：我们是否应该证明它也包含G的所有顶点？我们是否假设U1和U2没有连接？@britney顶点在那里，我们正在创建的树默认具有所有顶点，并设置了结果边。假设U1和U2不连通是因为图本身不连通，所以必须有两个不连通的分量。