Algorithm 高斯消去中的标度因子

算法前向消除（A[1..n，1..n]，b[1..n]） //对系统系数的矩阵A应用高斯消去法， //用系统右侧值的向量b扩充 //输入：矩阵A[1..n，1..n]和列向量b[1..n] //输出：一个等价的上三角矩阵代替一个带 //（n+1）st列中相应的右侧值 因为我←1对n做A[i，n+1]←b[i]//扩充矩阵 因为我←1至n− 我做 对于j←i+1至n do 为了k←我要n+1做什么 A[j，k]←A[j，k]− A[i，k]∗ A[j，i]/A[i，i]

关于这个伪代码有两个重要的观察结果。 首先，它并不总是正确的：如果A[i，i]=0，我们就不能除以它 因此，不能将第i行用作的第i次迭代的轴心 算法。在这种情况下，我们应该利用第一个机会 初等运算，并将第i行与其下的某行交换 在第i列中有一个非零系数。（如果系统具有 独特的解决方案，这是以下情况下系统的正常情况 考虑到这一点，这样的争吵必须存在。）因为我们必须做好准备 不管怎样，我们都可以考虑换行的可能性 另一个潜在的困难：A[i，i]太小的可能性 因此，比例因子A[j，i]/A[i，i]非常大 [j，k]的新值可能会因四舍五入误差而失真 通过减去两个大小相差很大的数字。3到 为了避免此问题，我们可以始终查找具有最大值的行 第i列中系数的绝对值，与 第i行，然后使用新的A[i，i]作为第i次迭代的 支点这种被称为部分旋转的修改可以保证 比例因子的大小永远不会超过1

我对上述文本的问题如下：

作者所说的“A[i，i]很小，因此比例因子A[j，i]/A[i，i]很大的可能性”是什么意思？请在这里用简单的例子解释

在对上述问题的延伸中，作者所说的“A[j，k]的新值可能会因减去2而产生的舍入误差而失真”是什么意思 大不相同震级的数量“

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所以，我认为这些评论只有在你想编程的时候才有用。这里的主要问题是如何表示数字

假设A[i，i]真的很小，A[j，i]/A[i，i]大约是10^12。就其本身而言，这不是一个问题，但是当您想要操纵这个数字时，您不会精确操纵10^12，而是操纵这个数字的近似值。大多数情况下，用于大数表示的规范是（如果您想深入研究）

要记住的主要一点是，这些不是精确的数字，这意味着10^12和10^12-1具有相同的表示形式。（如果你愿意，可以试试看）

因此，如果我们有高值，我们可能不会执行正确的操作，因为我们实际上不会处理正确的数字。我试图制作一个小程序来说明这些差异：

int main()
{
   float bigOne = 100000000000000;
   float smallerOne = 99990000000000; 
   float expectedSubstraction = 10000000000;
   float divisionFactor = 1000000;
   cout << (bigOne-smallerOne)/divisionFactor << endl;
   cout<< "expected : " << expectedSubstraction/divisionFactor << endl;
   return 0;
}

intmain（）
{
float bigOne=1000000000000；
浮点数=999000000000；
浮点期望减法=1000000000；
浮动系数=1000000；
CUT< P>看看作者的意思，考虑高斯消去的最简单的例子，当我们只有两个线性方程：

ax+by=c
dx+ey=f

我将A[I，j]替换为字母A，b，d，e，并将b[k]替换为字母c和f，以使公式更易于阅读

为了从第一个方程中消除y，我们将第二个方程改写为

y=(f-dx)/e            /* (1) */

执行替换以计算
x

x=(ce-bf)/(ae-bd)   /* (2) */

然后从
x
返回计算
y

现在考虑在上面的（1）中发生什么，当原代码中的代码> e <代码>非常小，比如10-320。缩放因子（即乘以<代码> f dx < /代码>以获得<代码> y < /代码>）是
1/e
，或10320。乘以一个数字，在浮点数表示法中有可能溢出指数。这就是作者在问题的第一部分引用的段落的意思

你的问题的第二部分考虑上面的公式（2）。当<代码> CE <代码>与<代码> BF < /代码>相比非常小（或<代码> BF < /代码>与<代码> CE <代码>相比非常小）由于浮点数的表示方式，减法运算的结果主要由较大的数决定。本质上，当一个数比另一个数小几个数量级时，加法或减法运算的结果与较大的数相同。作者想指出，在用高斯消去法计算解的过程