Algorithm 线性时间的子集和

这是我们期末考试的一道题。这是逐字逐句的，因为教授让我们把考试的副本带回家

（20点）设I={r1，r2，…，rn}是一组n个任意正整数，I中的值是不同的。我没有按任何顺序给出。假设我们想要找到I的子集I’，使得I’中所有元素的总和正好是100*ceil（n^.5）（I的每个元素最多只能在I’中出现一次）。提出了一种求解该问题的O（n）时间算法

据我所知，这基本上是背包问题的一个特例，也就是所谓的子集和问题。。。这两个问题在NP中都是线性时间内理论上不可能解决的

所以。。。这是个骗人的问题吗

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基本上解释了如果权重有界，则可以进行伪多项式（线性）时间近似，但在考试问题中权重没有界，并且考虑到考试的总体难度，如果教授希望我们知道/想出一个模糊的动态优化算法，我会感到震惊

确定以下是O（n）时间内的一个简单解决方案。

由于所需的和

S

的顺序为

O（n^0.5）

，如果我们制定一个复杂度

S^2

的算法，那么我们是好的，因为我们的算法将具有有效的复杂度

O（n）

在所有元素上迭代一次，检查值是否小于S。如果是，则将其推入新阵列。该阵列最多应包含S个元素（O（n^.5））

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按O（sqrt（n）*logn）时间（

输入可以被截断为大小O（sqrt（n））。没有负输入，因此您可以丢弃任何大于100*sqrt（n）的数字，并且所有输入都是不同的，因此我们知道最多有100*sqrt（n）个重要输入

运动场的大小为O（sqrt（n））。虽然有O（2^sqrt（n））种方法可以组合重要的O（sqrt（n））输入，但您不必关心离开100*sqrt（n）范围或冗余地命中您已经可以达到的目标的组合

基本上，这个问题是一个动态规划问题，每个输入都会以某种方式与“到达数”空间的每个部分进行检查

最终的解决方案是确保数字不会脱离自身（通过向正确的方向扫描），只看一次每个数字，并为我们自己提供足够的信息，以便随后重建解决方案

下面是一些C代码，可以在给定的时间内解决问题：

int[]FindSubsetToImpliedTarget（int[]输入）{
var目标=100*（int）数学上限（Math.Sqrt（inputs.Count））；
//建立联系方式表
var达到=新整数？[目标+1]；
达到[0]=0；//空集达到0
foreach（输入中的var e）{
//我们后退以避免脱离自己
对于（变量i=目标；i>=e；i--）{
如果（达到[i-e].HasValue）{
达到[i]=e；
}
}
}
//达到目标了吗？
如果（！reach[target].HasValue）返回null；
//通过记录的到达值回溯生成结果
var result=新列表（）；
对于（变量i=目标；达到[i]！=0；i-=达到[i]。值）{
结果.Add（达到[i].值）；
}
返回result.ToArray（）；
}

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我还没有实际测试过上面的代码，所以要小心错字和逐个错字。

使用典型的DP算法将获得

O（N）

耗时的算法。我们使用

dp[i][k]

（布尔值）来指示前i项是否有一个和为k的子集，过渡方程为：

dp[i][k] = (dp[i-1][k-v[i] || dp[i-1][k]),

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它是

O（NM）

，其中N是集合的大小，M是目标和。由于元素是不同的，总和必须等于<代码> 100×CEL（n ^ 5）< /> >，我们最多只需要考虑第一个100×CEL（n，5）项，然后得到<代码>，权重确实有界，可以忽略那些大于<代码> 100 *CEL（SqRT（n））< /> >的权重。因此，您可以使用链接到的算法。当没有解决方案时（例如，

I={1,2,3,4}

），响应应该是什么？（a） “无解”（b）“最近的解是……”（c）不收敛于O（n）。