Algorithm 找到k个矩形，使其覆盖最大数量的点

在二维空间中，给定一组矩形，每个矩形覆盖多个点，两个任意矩形之间可能有重叠，对于指定的K个数，我如何找到K个矩形，使它们的并集覆盖最大数量的点？ 在这个问题中，如果一个点被两个以上的矩形覆盖，它只被计数一次，我们假设矩形的位置和大小以及点的位置是固定的，如输入中所示

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有人能告诉我解决这个问题的算法吗？或者指出它可以简化为一些已知的问题？

我认为您需要组合优化算法，该算法可以选择值/节点（例如这里的矩形），以便给定的函数给出最大值。我不知道细节，但你可以在MATLAB中尝试优化我假设你有固定的矩形（也就是说，你不能选择你的矩形有多大，以及它们的位置）。如果您可以选择矩形的大小，那么问题就很简单了。如果您可以选择矩形的位置，这也将是一个不同的问题（通过另一个贪婪算法解决）

有关更多详细信息，您需要告诉我们如何指定矩形和点，以及它们是如何存储的——或者您是否需要帮助根据输入格式选择一个好的数据结构

现在，你的问题的贪婪解决方案是如下进行。首先，将所有矩形“选择”作为覆盖点。然后，一个接一个地删除覆盖最少点的矩形，直到集合中只有K个矩形。该算法的复杂性是多项式的，其效率取决于如何实现查询“找出哪个矩形覆盖的点最少”。使用堆，您可以在O（1）中完成这项工作，并通过预处理阶段来构建堆（其复杂性将取决于点的存储方式）

编辑：此解决方案的问题是，在每个步骤中，“将使其成为我发现的点最少的点”的答案不是唯一的，在该步骤中，几个矩形可以填充标准；最后，结果可能是一个选择比另一个更好，而这不可能在那一步决定

   /---------\
   |2        |
/-----\   /-------\
|1 | *|   |* |   3|
\-----/   \-------/
   |         |
   \---------/

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例如，在这里，所有矩形都是绑定的：如果删除任何一个矩形，则不会发现任何点。然而，很明显，最好的1-解决方案是让矩形2覆盖点（注意，矩形1和3可以任意宽，因此大小不是一个决定性因素）。

如果有n个矩形，必须选择其中的k个，那么就有

（选择nk）

不同的组合，即

（/（阶乘n）（factorial k）（factorial（-n k））

。在一般情况下，我怀疑您必须枚举这些组合并计算它们的覆盖率。但是，您可以通过按覆盖率排序矩形（即它们所覆盖的点的数量）来缩短这一点，从最大矩形的组合开始，当剩余的矩形不能超过您以前的最佳组合时停止。

这看起来像是几何版本，与密切相关，这两个是NP完全的

从我所能找到的来看，集覆盖的几何版本也是NP完全的，本文有一个快速近似算法，它利用了集覆盖是几何的事实：。集覆盖的几何版本是NP完全的事实意味着最大覆盖问题的几何版本也是NP完全的

当然，你的集是矩形的特殊情况可能仍然适用于精确的多项式时间算法，但我怀疑这一点。也许上面的文章中的参考文献会给你带来一个好的解决方案

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希望能有帮助！

Thx，但我需要一个明确的算法似乎是生成树和覆盖问题的结合……恐怕这种贪婪的方法是错误的，因为那些覆盖大量点的矩形可能会严重重叠，而其他覆盖少量点的矩形可能彼此没有重叠rFear not！：-），这种贪婪的方法没有错，但也许我应该重新表述我正在测试的内容，以便更清楚：“哪个矩形，如果删除，将使它成为我发现的点最少的矩形。”按面积排序矩形并不一定有用：一个非常大的矩形可能覆盖很少或根本没有点，因为它不在点集中的区域内；这个区域可以被一个很小的矩形覆盖。另一方面，也许给定的固定矩形集使这成为一个有用的标准。@Jérémie：通过测量覆盖点的面积，这一异议很容易解决。Thx，你是对的，我的问题可以归结为最大覆盖问题，所以它是NP！证明是矛盾的：假设我的问题可以在多项式时间O（POLY（N））内解决，那么最大覆盖率问题可以在时间O（K*POLY（N））内解决，这与MCP是NP相矛盾。@unclaw:不。你必须减少问题的最大覆盖率，而不是相反（为了证明NP完备性）。此外，处于NP和NP完全意味着两件截然不同的事情。每个NP完全问题都是NP问题，但不一定相反。