Algorithm Fibonacci序列非齐次递推关系的求解

我试图解决斐波那契序列的递推关系，但问题是它不是齐次的

递推关系如下：

F（n）=F（n-1）+F（n-2）+Θ（n）表示n>1，Θ（n）=c1n+c2，其中c1，c2>0

初始条件：F（0）=0，F（1）=1

我试图通过将其视为具有常系数的齐次线性二阶递归来解决它，但我不确定如何解决它，因为我有：

F（n）-F（n-1）-F（n-2）=c1n+c2

而不是：

F（n）-F（n-1）-F（n-2）=0

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求解这种递推关系的最佳方法是什么？

您可以使用以下不等式找到上界和下界：

2F(n-2) + Theta(n) < T(n) < 2F(n-1) + Theta(n)

2F（n-2）+θ（n）

你可以很容易地证明上下限在θ（n2^n）中。因此，

T（n）=θ（n2^n）

与Ansatz

F1（n）=a*n+b

一起

F1(n) - F1(n-1) - F1(n-2) = -a*n + 3a - b = Θ(n) = c1*n + c2.

所以我们有

a=-c1

和

b=-3c1-c2

，即

F1(n) = -c1*n - 3c1 - c2

在不查看初始条件的情况下求解给定的递归。结合同构递归的解决方案

F0

（参见）

用

q1/2=（1+/-sqrt（5））/2

获得

F(n) = F0(n) + F1(n) = d1*q1^n + d2*q2^n - c1*n - 3c1 - c2 .

现在我们可以通过求解这个线性方程组来调整因子d1、d2，使之与给定的初始条件相匹配

F(0) = d1 + d2 - 3c1 - c2 = 0
F(1) = d1*q1 + d2*q2 - 4c1 - c2 = 1

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对于

d1

，

d2

您能详细说明一下吗？@user10605996查看添加的详细信息。剩下的应该是直截了当的。我不确定OP的Θ是否表示一个渐近表达式。我觉得这个问题不属于这里，但我不能告诉它应该移到哪个站点。可能是这个？

F(0) = d1 + d2 - 3c1 - c2 = 0
F(1) = d1*q1 + d2*q2 - 4c1 - c2 = 1