Algorithm 算法复杂度的比较

我目前正在学习大O符号的运行时间和摊销时间

我有以下问题：

两种基于分治原理的算法可用于解决复杂度为n的问题。 算法1将问题划分为18个小问题，需要O（n^2）运算将子解组合在一起。 算法2将问题划分为64个小问题，需要O（n）运算将子解组合在一起

哪种算法更好更快（对于大n）

我猜第二种算法更好，因为它需要更少的时间（O（n）比O（n^2）快）。 我的猜测正确吗

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小问题的数量对算法的速度有影响吗？还是它总是需要一个恒定的时间？

在这种情况下，它可能不是一个陷阱，但最好小心，可能会发生一些违反直觉的事情。如果发生这种情况，陷阱主要是这样的：子问题比生成的子问题小多少

例如，对于这里的算法1来说，如果子问题的大小是当前问题的1/5或更小（可能意味着它们的大小是1/18？），则总体时间复杂度是O（n²）。但是如果问题的大小只下降了4倍，我们已经达到了O（n2.085），如果域只被切成一半（但仍然是18倍），那么它将一直上升到O（n4.17）

同样，对于算法2，如果它将一个程序划分为64个子问题，每个子问题的大小为1/64，则总体时间复杂度将为O（n logn）。但是如果子问题稍微大一点，比如说1/63的大小，我们立即在层次结构中向上移动一整步，直到O（n1.004）——指数中的一个微小常数，但不再是对数线性的。使问题的大小变为1/8，复杂性变为二次型，如果我们在每一步仅将问题的大小减半，那么问题的大小将一直增加到O（n6）！另一方面，如果问题缩小得稍微快一点，比如说1/65的大小，那么复杂性立即不再是对数线性的，但这次是另一个方向，变成O（n）

因此，它可以走任何一条路，这取决于子问题收缩的速度，这在您的问题陈述中没有明确提到。希望很明显，仅仅比较“每个步骤的附加处理”是不够的，总的来说是不够的。每一步大量加工是一个无法克服的缺点，但如果“收缩系数”比“扇出系数”小，则每一步只有少量加工是一个很容易失去的优点.

用于分治算法的渐近分析，它将为您提供一种获得直接答案而不是猜测的方法

T(n) = aT(n/b) + f(n)   

其中，T是主要问题，n是输入集，a是划分成的子问题的数量，b是每个子问题的输入集减少的因子，f（n）是将子问题拆分并组合在一起的函数。从这里我们可以找到c：

f(n) is O(n^c)

例如，在您的示例算法1中，c=2，在算法2中，c=1。算法1和算法2的值a分别为18和64。下一部分是您的问题缺少适当的信息，因为没有提供b换句话说，要得到一个清晰的答案，您需要知道每个子问题将原始输入分割的因子。

if c < logb(a) then T(n) is O(n^logb(a))
if c = logb(a) then T(n) is O(n^c log(n))
if c > logb(a) then T(n) is O(f(n))

如果clogb（a），那么T（n）是O（f（n））

先天的

，是的。当n-->无穷大时，第二个更好。但是，在某些情况下，即使对于相当大的“n”，第一个也可能更好。这取决于所涉及的常数。假设算法2在n->无穷大时更好是不正确的。为了准确确定哪种算法更快，您缺少了harold和我在下面讨论的信息。