Algorithm 使用自定义函数代替素数的汉明数

这是一个著名的问题，它基本上生成所有素数因子仅为{2,3,5}的整数。（我认为它可以扩展到任何一组基本因子）

为了找到第n个汉明数，Dijkstra提出了一种巧妙的O（n）构造算法，其伪码如下：

List<int> H
int i=0,j=0,k=0, n=10 // find the 10-th hamming number
H.add(1)
for(i=0 to 10)
   int next = min(2*H[i], 3*H[j], 5*H[k])
   H.add(next)
   if(next == 2*H[i]) ++i
   if(next == 3*H[j]) ++j
   if(next == 5*H[k]) ++k

output(H[10])

列表H
int i=0，j=0，k=0，n=10//求第10个汉明数
H.add（1）
对于（i=0到10）
int next=min（2*H[i]，3*H[j]，5*H[k]）
H.add（下一个）
如果（next==2*H[i]）++i
如果（next==3*H[j]）++j
如果（next==5*H[k]）++k
输出（H[10]）

这个解决方案的关键点是，如果H是一个汉明数，那么2H、3H、5H也是一个汉明数

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我遇到了一个问题，我感觉它有点像汉明问题，但它不是用一组素数因子来构造数字，相反，如果我对问题陈述进行重新定相，它是如下所示：

List<int> H
int i=0,j=0,k=0, n=10 // find the 10-th hamming number
H.add(1)
for(i=0 to 10)
   int next = min(2*H[i], 3*H[j], 5*H[k])
   H.add(next)
   if(next == 2*H[i]) ++i
   if(next == 3*H[j]) ++j
   if(next == 5*H[k]) ++k

output(H[10])

1在结果集中。如果H在结果集中，则2H+1和3H+1也在结果集中。在结果集中查找第n个数字

然后我想知道同样的构造算法是否适用于这个问题，事实证明确实如此！（我甚至不知道它为什么有效）

Def（x）2x+1
Def g（x）3x+1
清单H
int i=0，j=0，n=10//求第10个汉明数
H.add（1）
对于（i=0到10）
int next=min（f（H[i]），g（H[j]））
H.add（下一个）
如果（next==f（H[i]）++i
如果（next==g（H[j]）++j
输出（H[10]）

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所以我想知道：

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此构造算法是否适用于生成数字的问题，如果“如果结果中包含

x

，则所有

f（x）、g（x）、p（x）、q（x）….

也包含在结果中”，假设这些函数将给出一个结果>=

x

？一个充分条件是，从整数到整数的所有函数都必须是单调递增的，并且对于所有的

i

和

n

，都有

n

举例说明您需要规则的整数部分，这是一对函数

（n+0.5，（n+floor（n+1））/2）

。这将导致序列

1、3/2、7/4、15/8，…

，您将永远无法到达

2

函数

（2^n，20-5n+n^2）

的顺序是

1,2,4,16,14，…

，显然没有顺序。因此，需要非递减

函数

（n-3）

给出序列（1，-2，-5，…），并显示

n

的重要性

那么，这是为什么

首先，很明显，这个算法输出的任何东西都在集合中

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反过来说，假设这三个条件都满足。然后我们必须通过归纳法证明，如果你属于这个序列，我们在到达之前就开始寻找你，然后当我们经过你的时候，我们必须产生它。（序列是一组递增的整数，这一事实保证了我们可以传递给你。）证明有点混乱，但很简单。

函数需要是单调的：如果f（2）>f（3），那么生成的数字将不会按递增顺序排列。如果函数是单调的，我想你可以用归纳法证明所有的数都是按正确的顺序生成的。生成N个以下的所有数字后，其中一个指针必须准备好生成序列中的下一个数字。@mcdowella谢谢，我认为关于单调部分你是对的。为了证明这一点，我正在努力做到这一点，但这对我来说并不微不足道……单调（或其他一些强有力的假设）是必不可少的。如果

f

、

g

等可以用可证明的无界范围进行计算，但没有其他假设，则通过应用这些函数从

{1}

生成的集合是递归可枚举的，但通常不是递归的。在非递归情况下，任何算法都不可能工作，因为停止问题是不可判定的。事实上，没有通用算法可以确定集合中是否有2。