Algorithm 在O（1）空间的数组中找到重复元素的证明

假设数组的大小为n+2，并且输入元素限制在范围（1，n）内，我遇到了一种使用求反（方法5，）来解决使用O（1）空间查找重复项的问题的方法。然而，我并不完全相信这是为什么，有人能帮我证明一下吗？

要知道这个算法是有效的，首先用额外的空间来解决它可能会有帮助

计数事件 创建一个名为

count

的数组，索引为1到n，初始化为全零。这将跟踪您在输入数组中遇到特定值的频率。然后检查哪些计数大于1。因此，算法（伪代码）非常简单：

count:=数组（n）
#初始化计数：
对于i:=1到n：
计数[i]=0
#开始计数：
对于A中的值：
计数[值]：=计数[值]+1
#提取非唯一性
重复项：=数组（）
对于i:=1到n：
如果计数[i]>1：
重复。追加（i）
返回副本

标记事件 我们可以观察到，当我们将某个计数从1增加到2时，我们已经可以检测到重复。所以我们不需要存储2的计数。我们可以将计数保留为1，然后将值添加到输出中。第一次遇到值时，对应的0将变为1，下一次我们将看到已经有1，并得出结论，我们有一个重复的值（并保持1不变）。这样我们只需要存储两种值（0或1）。我们将为这个辅助数组使用一个更合适的名称：它可以命名为

found

，而不是

count

found:=数组（n）
#初始化：
对于i:=1到n：
找到[i]：=0
#循环并收集重复项：
重复项：=数组（）
对于A中的值：
如果找到[值]==0：
找到[值]：=1
else:#以前已遇到此值
重复项。追加（值）
返回副本

将数据打包在一起 仅存储0或1实际上只不过是存储一位而已。为了去掉辅助空间，我们可以说，在输入数组的每个值中肯定有一个未使用的位可用：给定的输入值都在1..n范围内，因此它们是正的，因此不使用符号位。我们可以在那里“隐藏”我们的比特信息

要使其工作，我们必须确保该位的使用不会干扰输入值的存储

因此，当我们从输入数组中读取值时，必须确保忽略该符号位（通过获取绝对值）。当我们想读/写额外的位时，我们应该确保不干扰原始（正）输入值。位和值应该共存，而不会相互影响。您可以将其视为包含2个数据的元组：一个位和一个介于1..n之间的数字。他们没有关系

它本质上与上面的算法没有什么不同（找到了

）。唯一的区别是两个（不相关的）数据被打包成一个值

我希望当你这样看的时候，算法会变得清晰

评论

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对该算法的一个批评是，它确实使用了额外的空间。假设您的输入由无符号字节组成，n是255，那么实际上就没有多余的空间了。

方法5适用于基于1的数组。假设数组是A={2.3.1.3}你读取第一个值（2），交换A[2]的符号，使数组现在是{2.-3.1.3}你读取下一个值（3），交换A[3]的符号，使数组现在是{2.-3.-1.3}你读取下一个值（1），交换A[1]的符号，使数组现在是{-2.-3.-1.3}读取下一个值（3）并交换[3]的符号，使数组现在为{-2.-3.+1.3}，完成步骤1。现在看看前n个值的符号：如果负数只改变了一次，如果正数则改变了两次（dup），请不要将重要信息放在场外链接中，而是将相关信息包含在问题中。你的问题应该是完全独立的，可以回答，不需要任何链接。请确保这样做时不侵犯任何版权。