Algorithm 带分治的数组和的复杂性

假设以下算法为：

sum(v, i, j) {
    if i == j
        return v[i]
    else {
        k = (i + j) / 2
        return sum(v, i, k) + sum(v, k+1, j)
    }
}

这个算法的时间复杂度是

O（n）

，但是我如何（用自然语言）证明它的复杂度呢？问题总是分为两个新问题，即

O（logn）

，但其余的复杂性来自哪里

应用主定理得到预期结果，

O（n）

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谢谢

将问题分成两部分并不一定意味着复杂性为log（n）

我猜你们指的是二进制搜索算法，但在每一个除法中，每一半都被跳过，因为我们知道搜索键会在除法的另一边

只要看一下sudo代码，就会对每个分区进行递归调用，并且不会跳过任何内容。为什么会是log（n）

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O（n）是正确的复杂性

从高层次的角度来看，您的算法就像是在遍历一个平衡的二叉树，其中每个节点覆盖一个特定的间隔

[i，j]

。他们的孩子把间隔分成两个大致相等的部分，即

[i，（i+j）/2]

和

[（i+j）/2+1，j]

让我们假设它们是相等的，在这种情况下。（换句话说，为了证明，数组的长度

n

是2的幂）

用下面的方法来考虑它。您的算法正在遍历的平衡二叉树中有

n

叶子。每个人都从长度为1的间隔开始负责。树的

n/2

节点是这n片叶子的父节点。那些

n/2

节点具有

n/4

父节点。这一过程一直持续到到达树的根节点，它覆盖了整个时间间隔

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想想这棵树中有多少个节点<代码>n+（n/2）+（n/4）+（n/8）+…+2+1。由于我们最初假设n=2^k，我们可以将此和表示为指数之和，求和公式为。结果表明，该树中有

2^（k+1）-1=2*（2^k）-1=2n-1

节点。因此，显然，遍历该树的所有节点将花费

O（n）

时间。

问题总是被划分为两个新问题，即O（logn）

-不。每次划分时，您都不会丢弃任何一半。如果在二进制搜索中丢弃任意一半as，那么它就是O（logn），否则将计算递归树的所有叶子，其顺序为O（n）。