Algorithm 构造一个有效的最小生成树，使得G中给定的顶点子集是叶+；证明

我试图设计一个算法，其中，给定一个连通加权图G=（V，E）和V中顶点U的子集，将构造一个最小生成树，使得U中的所有顶点都是叶（其他顶点也可能是叶），或者返回不存在这样的树（False）

这就是我所得到的，采用Prim的算法（公平警告，它真的很糟糕；甚至不知道它是否有效或使用什么数据结构，我会接受任何其他正确的算法）：

我也有一张图片，我认为它会对我画的这张图产生什么影响：

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证明算法正确也会让我安心。

如果所有顶点

u∈ U

是解决方案中的叶子，该解决方案中不能使用任何U来连接其他两个顶点。所有不在

U

中的顶点必须通过不与任何

U

关联的边连接

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删除

U

和与

U

相关的所有边。找到最小生成树，然后用我们移除的最小加权边将每个

u

连接到树上。

次要注释：

让（u，v）是最便宜的边，u在S中，v不在S中

应排除已使用的顶点

u在G中

，否则它们就不会变成树叶。@VincentvanderWeele哦，是的，谢谢。除此之外，你认为这种适应方法有效吗？我认为你的方法和下面的答案都有效。然而，另一种方法的正确性似乎更容易证明。@VincentvanderWeele实际上是对你的次要评论的快速评论（lol）：为什么我要排除我已经使用过的顶点u？我已经有一条线，如果一条边（u，v）的节点u在u中，那么该边无论如何都不会被添加到树中。如果U中的节点是v，则可以将此边添加到树中，从而使其成为叶节点。啊，第二行中有另一个If，确保

U

和

v

不能同时位于

U

。我错过了。我认为这不起作用，特别是“去除所有u形边缘”部分。如果我们这样做，我们可能会得到一个断开连接的图，并且无法找到图中剩余节点的最小生成树。此外，我认为这不是特别有效，尤其是当您将树作为堆存储在优先级队列中时。@iHeartCode124请提供一个非常简单的示例，该示例具有有效的解决方案，这里有一些观察结果说明了为什么这是正确的。1） 从树上移除叶子时，结果仍然是一棵树。因此，如果存在一个包含所有U叶的MSP，那么

V\U

上也存在一个MSP。2） 对于u中的每个

u，将其连接到
V\u
的MSP的边是具有最低重量的边。这是正确的，因为
U
中的两个顶点之间不可能有边（并非所有
U
都是叶子），并且权重不能因矛盾而更高（切换边将生成总权重更低的树）。3） 从前面的两点来看，
V\U
的生成树也必须是一个MSP，这是自相矛盾的。@iHeartCode124（你可能对上面文森特·范德维尔的评论感兴趣。我想我应该提一下，因为他们没有标记你。）
Let x be an arbitrary node in G
Set S = {x}
While S != V:
    Let (u,v) be the cheapest edge with u in S and v not in S
    Add (u,v) to tree T if u is not in U, add v to S

If all u in U is in the tree T:
    return T
Else:
    return False