Algorithm 三角形划分

这是2010年太平洋ACM-ICPC竞赛中的一个问题。其要点是试图找到一种方法，将三角形内的一组点划分为三个子三角形，这样每个分区正好包含三分之一的点

输入：

• 边界三角形的坐标：

  （v1x，v1y），（v2x，v2y），（v3x，v3y）

• 一个数字

  3n<30000

  ，表示三角形内的点数

• 3n

  点的坐标：

  （x_i，y_i）

  对于

  i=1…3n

输出：

• 一个点

  （sx，sy）

  ，它将三角形分成3个子三角形，使每个子三角形正好包含

  n个点

拆分点将边界三角形拆分为子三角形的方式如下：从拆分点到三个顶点中的每个顶点绘制一条线。这将把三角形分成3个子三角形

我们保证这一点是存在的。任何这样的观点都足够了（答案不一定是唯一的）

以下是

n=2

（6点）的问题示例。我们得到了大三角形中每个有色点的坐标和每个顶点的坐标。分割点用灰色圈出

有人能推荐一个比

O（n^2）

更快的算法吗？

这里有一个

O（n logn）

算法。我们假设没有简并

高层思想是，给定一个三角形

PQR

   P
  C \
 /  S\
R-----Q

我们首先将中心点

C

置于

p

。向

R

方向滑动

C

，直到三角形

CPQ

内有

n

点，段

CQ

上有一个（

S

）。向

Q

方向滑动

C

，直到三角形

CRP

不再有缺陷（扰动

C

完成）或

CP

达到一个点。在后一种情况下，滑动

C

远离

P

，直到三角形

CRP

不再有缺陷（我们完成了）或

CQ

到达一个点，在这种情况下，我们再次开始向

Q

滑动

C

显然，该实现无法“滑动”点，因此对于涉及

C

的每个三角形，对于该三角形的每个顶点

S

，而不是

C

，将三角形内的点存储在二元搜索树中，按

S

的角度排序。这些结构足以实现此动力学算法

我断言这个算法是正确的，没有证据

---

至于运行时间，每个事件都是一个点-线交叉点，可以在时间

O（logn）

中处理。角度

PC

和

QC

和

RC

都是单调的，因此

O（1）

每一条线最多只击中一次每个点。

这里有一种方法，每一条线都需要成本n的O（logn）传递

每个过程从一个初始点开始，该初始点将三角形分为三个子三角形。如果每个都有n个点，我们就完成了。如果不是，考虑距离最远的距离最远的子三角形。假设它有太多，就目前而言。不平衡总和为零，因此其他两个子三角形中至少有一个点太少。第三个子三角形要么太少，要么正好有n个点——否则原始子三角形的差异不会最大

取最不平衡的子三角形，并考虑沿中心线移动中心点。这样做时，最不平衡点的不平衡将减少。对于三角形中的每个点，移动中心点时，可以计算出该点何时穿过或穿过最不平衡的次三角形。因此，您可以在时间n中计算出移动中心点的位置，以给出最不平衡的三角形的任何所需计数

当你移动中心点时，你可以选择点是否从最不平衡的子三角中移入，但你不能选择其他两个子三角中的哪一个-但你可以很容易地预测它们从直线的哪一侧滑动中心点，所以你可以沿着这条线移动中心点，以获得移动后的最小最大偏差。在最坏的情况下，所有移动的点都进入或离开完全平衡的子三角。但是，如果不平衡的子三角有n+k个点，通过移动其中的k/2，最坏的情况下，可以移动到它和先前平衡的子三角以k/2的速度向外移动的情况。在另一个方向上，第三个副三角可能仍然不平衡高达k，但在这种情况下，第二次通过将最大不平衡降低到k/2以下

---

因此，在大不平衡的情况下，我们可以在上述算法的两个过程中，最坏情况下减少常数因子，因此在O（logn）过程中，不平衡将足够小，以至于我们处于特殊情况下，我们担心最多超过一个点。在这里，我将猜测，在一个程序中，这种特殊情况的数量实际上是可枚举的，并且成本相当于一个小的常量加法。

主要思想是：如果我们已经得到了线，我们可以尝试使用线性搜索在其上找到一个点。如果行不够好，我们可以使用二进制搜索来移动它

根据顶点

A

的方向对点进行排序。按

B

和

C

对它们进行排序

将顶点

A

的当前范围设置为所有点

从顶点

A

的范围中选择2个中点。这两个点定义了“A”的子范围。在这些点之间找到一些线

AD

迭代位于

B

和

AD

之间的所有点（从

BA

开始）。找到

n

点时停止。从