Algorithm 动态规划问题，在0-1矩阵中选择1，使每行和每列正好包含一个1

给定一个0-1的平方矩阵，我们可以通过多少种方式选择1，使每行和每列正好包含一个1

我已经为这个问题实现了以下回溯代码：

    int countways(int A[][], int& n, int row, vector<bool> columnselected ) {
         if(row == n)
              return 1;
         int result = 0;
         for( j = 0; j < n ; ++j) {
              if(A[row][j]) {
                   if(!columnselected[j]) {
                        columnselected[j] = true;
                        result+ = countways(A, n, row+1, columnselected);
                        columnselected[j] = false;
                   }
               }
         }
         return result;
     }

int countways（选择int A[][]，int&n，int行，向量列）{
如果（行==n）
返回1；
int结果=0；
对于（j=0；j

这绝对不是解决这个问题的最好办法。我不能通过使用递归的记忆版本来增强解决方案，因为对递归的每次调用中的columnselected和row对于每个子问题都是唯一的

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请建议一种更好的方法来解决这个问题，更像是一种动态规划解决方案，比这个显而易见的解决方案更有效。

恐怕你最好的选择是修改Knuth的算法X，详细解释见。关键是使用与算法X类似的数据结构

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我很确定你描述的问题相当于精确覆盖，这使得它是NP完全的。因此，没有“有效”的解决方案可用，但算法X在实践中是可以接受的。

如果我正确理解您的问题，这个问题不就是给每个列授予唯一的等级吗？例如，如果[p，q]上有一个1，这意味着第q列被分配了一个秩p

所以对于NxN矩阵，解应该是N！（N的阶乘）

您还可以使用归纳法p（N）=N*p（N-1），因为当您在NxN矩阵中的任意位置放置一个1时，一行和一列都会被它阻止-因此您只剩下一个（N-1）x（N-1）矩阵

编辑：我对问题的理解不正确。但这里有一个新的尝试，即使用动态规划方法

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让我们先创建一个DAG，如下所示： 此图的节点是正方形（p，q，size）-固定在row=p，col=q处的正方形，带有大小x大小元素。是的，他们可以绕着。 为了计算简单，让q始终等于0

对于矩阵{abc}、{def}、{ghi}，节点将是

{a} ，{d}，{g}：大小为1的正方形：根节点

{ab，de}，{de，gh}，{gh，ab}：大小为2的正方形

{{abc}，{def}，{ghi}}：大小为N的唯一平方，即矩阵本身：叶节点

有向边指向大小为n到n+1的正方形，如果小正方形可以包含在大正方形中。 例如{d}同时指向{ab，de}和{de，gh} 重要提示：尺寸n和尺寸n+2正方形之间不能有任何边

遍历

基础：为大小为1的正方形指定权重：正方形（p，0,1）=1 iff M（p，0）==1

步骤：对于大小为N的正方形，请访问其儿童，即大小为N+1的正方形。如果孩子的体重增长到1，则为其贡献自己的体重，否则不要

叶节点将有您的答案

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此解决方案基本上是一种自下而上的遍历方法，它将避免子问题的重复计算。

此问题相当于查找子问题的数量。取NxN矩阵，为每行创建一个顶点，为每列创建一个顶点（2N个顶点）。如果矩阵在相应的行和列中包含“1”，则在行顶点和列顶点之间添加边。这形成了二部图。请注意，在该图中找到完美匹配相当于选择“1”，以便每行和每列正好包含一个1”

发件人：

确定给定区域中完全匹配数的问题 图为#P完整图（见永久图）。然而，一个值得注意的定理 Kasteleyn指出平面图中完美匹配的数量 图可以通过FKT在多项式时间内精确计算 算法。同样，对于二部图，问题可以是 在多项式时间内近似求解。[]即，对于任何ε>0， 有一种概率多项式时间算法可以确定， 在高概率情况下，一个区域内的完全匹配数M 误差不超过εM

注意：您可以在多项式时间内确定答案是否为零

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因此，一个完美的多项式时间解是不可能的，但是我们可以通过使用改进函数的渐近运行时间（从O（N*N！）到O（N*2^N））。只有“columnselected”变量需要“memo”（将“columnselected”更改为位掩码整数而不是向量也可以提高性能并具有更简单的实现）。

我们以这种情况为例，给定0-1矩阵M=[[0,1,1]，[1,0]，[0,1,0]，[0,1,0]]，您可以看到选择1的方法只有一种，即，从M[0][2]、M[1][0]和M[2][1]，没有3=此矩阵的6种方法。问题不是在矩阵中安排n1，这是一个给定的矩阵，我们只能从这个矩阵中选择1s。@belisarius现在我看到这是可以做到的，但我担心这仍然不是多项式时间，计算Rook多项式需要计算匹配多项式，这是一个#P-完全问题。我们能在多项式时间内完成这件事吗？哦，我明白了，我的错。我删除了以前的评论，因为它们具有误导性。