Algorithm 随机洗牌数组

查看以下用于洗牌数组的算法：

def shuffleSort(a):
  N = len(a)
  for i in range(N):
    j = random.randint(0, i)
    a[j], a[i] = a[i], a[j]

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我相信它叫做Fisher-Yates算法？我正在寻找一个严格的数学证明，来证明这是为什么。更具体地说，假设

（a1，…，an）

是

n

的排列，我想证明

p（（x1=a1，…，xn=an））=1/n
这是一个典型的归纳证明

归纳假设是，对于k∈ {0，1，…，n}，对于{0，1，…，k的每个置换π− 1} ，概率至少为1/k！，列表值是a（π（0）），a（π（1）），…，a（π（k−1） ，a（k），a（k+1），…，a（n−1） ，其中a（i）表示位置i处的原始值。对于k=n，这证明了每个置换的概率至少为1/n！，这几乎就是我们想要的；其余的是通过观察这些事件是不相交的，并且概率和为一，因此，在任何地方都必须保持相等

基本情况k=0是明显的；只有一个排列，并且它以1/0的概率存在于原始列表中！=1根据假设

对于感应阶跃，设φ=（π（k）k）∘ π、 在英语中，通过将k调回其原始位置来修改π的排列。调用归纳假设，在k之后的列表中存在φ的概率−1步至少为1/（k−1)!. 概率至少为1/k时，随机数为π（k），它以至少1/（k）的概率将所需排列放入列表中−1)! ×1/k=1/k
 这是一个典型的归纳证明

归纳假设是，对于k∈ {0，1，…，n}，对于{0，1，…，k的每个置换π− 1} ，概率至少为1/k！，列表值是a（π（0）），a（π（1）），…，a（π（k−1） ，a（k），a（k+1），…，a（n−1） ，其中a（i）表示位置i处的原始值。对于k=n，这证明了每个置换的概率至少为1/n！，这几乎就是我们想要的；其余的是通过观察这些事件是不相交的，并且概率和为一，因此，在任何地方都必须保持相等

基本情况k=0是明显的；只有一个排列，并且它以1/0的概率存在于原始列表中！=1根据假设

对于感应阶跃，设φ=（π（k）k）∘ π、 在英语中，通过将k调回其原始位置来修改π的排列。调用归纳假设，在k之后的列表中存在φ的概率−1步至少为1/（k−1)!. 概率至少为1/k时，随机数为π（k），它以至少1/（k）的概率将所需排列放入列表中−1)! ×1/k=1/k
 在我写了下面的证明之后，我意识到我们需要假设元素是两两不同的，这条语句才是真的。在我写了下面的证明之后，我意识到我们需要假设元素是两两不同的，这条语句才是真的。