Algorithm 递归的复杂性：T（n）=T（n-1）+；T（n-2）和#x2B；C

我想了解如何得出以下递归关系的复杂性

T（n）=T（n-1）+T（n-2）+C

给定

T（1）=C

和

T（2）=2C

通常对于像
T（n）=2T（n/2）+C这样的方程（给定T（1）=C），我使用以下方法

T(n) = 2T(n/2) + C
=> T(n) = 4T(n/4) + 3C
=> T(n) = 8T(n/8) + 7C
=> ...
=> T(n) = 2^k T (n/2^k) + (2^k - 1) c

现在当
n/2^k=1=>k=log（n）
（到基2）

但是，对于我所讨论的问题，我无法提出类似的方法。如果我的方法不正确，请纠正我。
您可以使用所述的一般方法。如果您有更多问题，请询问。
对于您的目的，“比指数更差”是否足够准确？特例C=0定义了指数，从本文中可以看到。假设C为正值，则序列的增长速度将超过此值。事实上，您的序列将介于斐波那契序列和斐波那契序列的一个变体之间，其中黄金分割比被稍微大一点的值所取代。
复杂性与输入大小有关，每个调用都会生成一个调用的二叉树

其中
T（n）
总共调用
2
n

T（n）=T（n-1）+T（n-2）+C

T（n）=O（2
）+O（2
n-2
）+O（1）

O（2
n
）

同样，可以将递归函数推广为斐波那契数

T（n）=F（n）+（C*2
n
）

接下来，您可以使用直接公式而不是递归方式

如果您还想找到
T（n）
的显式公式，那么使用一种称为的复杂方法可能会有所帮助

我们知道
T（1）=c
和
T（2）=2c
和
T（n）=T（n-1）+T（n-2）+c

所以只要写
T（n）
并开始扩展

T(n) = T(n-1) + T(n-2) + c
T(n) = 2*T(n-2) + T(n-m) + 2c
T(n) = 3*T(n-3) + 2*T(n-4) + 4c
T(n) = 5*T(n-4) + 3*T(n-5) + 7c
etc ...

你看，系数本身就是斐波那契数

调用
F（n）
第n个
Fibonacci数
F（n）=（phi^n+psi^n）/sqrt（5）
其中
phi=（1+sqrt（5））/2
和
psi=-1/phi
，那么我们有：

T(n) = F(n)*2c + F(n-1)*c + (F(n+1)-1)*c

下面是一些快速代码来演示：

def光纤发生器（n）：
“”“生成fib数字以避免舍入错误”“”
fibs=[1,1]
对于X范围内的i（n-2）：
fibs.append（fibs[i]+fibs[i+1]）
回嘴
F=fib_gen（50）#只是一个例子。
c=1
def T（n）：
“递归定义”
如果n==1：
返回c
如果n==2：
返回2*c
返回T（n-1）+T（n-2）+c
定义我们的（n）：
n=n-2#只是因为你的初始值是T（1）和T（2），对不起，这太难看了！
“我们找到的关系”
返回F[n]*2*c+F[n-1]*c+（F[n+1]-1）*c

及

这种类型的递归称为：你必须在开始时求解齐次递归（末尾没有常数的一种）。如果你感兴趣，阅读它背后的数学知识

我会给你一个简单的方法。只需输入您的方程式，您将得到：


因此复杂性的增长方式与Lucas数或Fibonacci数（两者中较大者）的增长方式相同

但两者的增长率相同：



因此，您的增长率是黄金比率的指数：
O（phi^n）
@Aravind.。您提供的链接非常有用！
T(n) = F(n)*2c + F(n-1)*c + (F(n+1)-1)*c

>>> T(24)
121392
>>> our_T(24)
121392