Algorithm 算法：将n个任务分配给k>；n人，每个人都可以执行这些任务的一个子集

我正试图为以下问题找到一个有效的解决方案：

问题: 假设我有一些任务（A、A、B、B、C），我有一些人可以执行其中一项或多项任务：

• 人员1:A，B（人员1可以执行任务A或任务B）
• 人2:A，C
• 人物3：A
• 人4:B，C
• 人5:A，B

有可能把我所有的任务都交给这些人吗？一个人只能做一件事

可能有多种解决方案，但我只想知道是否有解决方案

我第一次尝试有效地解决这个问题是：

• 如果一个人只能完成一项任务，请将该任务分配给该人
• 如果一项任务需要做n次，并且有n个人可以做 此任务，将此任务分配给这n个人

这足以解决上述问题

• 2个人可以做B，B需要做两次。
  • 剩下的任务：A、A、C
  • 左边的人：[A，C]，[A]，[B，C]
• 2个人可以做一个。
  • 剩下的任务：C
  • 剩余人员：[B、C]

但这还不足以解决更复杂的问题，如： 职位：IGGGFFDDCCBBB 人： ABCDEFG CEI 贝 头孢吉 塞吉 阿德吉 塞吉 词 ADG 贝 DI BCDEFI 阿布德夫 ABEFG BCEGI ACDI 屋宇署 阿贝 BCDEFGI

有没有有效的方法来解决这个问题？很明显，我可以用深度优先搜索算法来解决这个问题，但我想知道我是否可以在多项式时间内解决这个问题？ 我不禁相信这是一个众所周知的问题，但我一直无法在谷歌上找到它

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谢谢阅读：）

是的，有一个有效的算法。这是最大二部匹配问题的一个实例。您要做的是创建一个二部图，其中节点是人员和任务，并且有一条边将每个人与他们能够执行的每个任务连接起来。将人员分配给任务将对应于此图的匹配

这方面的算法并不十分简单，但可以有效地执行，例如：

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是的，有一种有效的算法。这是最大二部匹配问题的一个实例。您要做的是创建一个二部图，其中节点是人员和任务，并且有一条边将每个人与他们能够执行的每个任务连接起来。将人员分配给任务将对应于此图的匹配

这方面的算法并不十分简单，但可以有效地执行，例如：

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有效解决这一问题的一种方法是将其表述为一个整体

在人员和他们可以完成的任务之间添加边（容量1）

还可以在起点和每个人之间添加边（容量1）

以及任务和目标之间的边缘（容量=该任务需要完成的次数）

示例Python代码使用：

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有效解决这一问题的一种方法是将其表述为一个整体

在人员和他们可以完成的任务之间添加边（容量1）

还可以在起点和每个人之间添加边（容量1）

以及任务和目标之间的边缘（容量=该任务需要完成的次数）

示例Python代码使用：

import networkx as nx
from collections import Counter

jobs = 'IGGGFFDDCCBBB'
people = 'ABCDEFG CEI BEI CEFGI CEGI ADGI CEGI CI ADG BEI DI BCDEFI ABDF ABEFG BCEGI ACDI BD ABE BCDEFGI'

G=nx.DiGraph()
for person,tasks in enumerate(people.split()):
    P = 'person'+str(person)
    G.add_edge('start',P,capacity=1.0) # One person can do one thing
    for task in tasks:
        G.add_edge(P,'task'+task,capacity=1.0) # This person can do this task

C = Counter(jobs)
for task,count in C.items():
    G.add_edge('task'+task,'end',capacity=count) # Task appears count times in our job list

print nx.max_flow(G,'start','end') >= len(jobs)