Algorithm 选择靠得很近的点的算法

我有一个n个点集的集合，其中每个点集最多包含m个点

我想从每个点集中选择一个点，这样产生的点选择就尽可能靠近。其中，贴近度有一个合理的定义，如距离选定点集质心的平方距离之和

例如，输入集合可以是：

Point Set A: [(2, 1), (1, 2), (6, 5)]
Point Set B: [(1, 1), (7, 3)]
Point Set C: [(3, 7), (5, 3)]

我想选择三个点，每个点集中一个，这些点最接近。在本例中，左下角的三个点距离最近，但它们不包括来自C的点。此处的解决方案是右侧的点：6、5、7、3和5、3。它们聚集在其质心6,3处⅔.

蛮力算法尝试集合中所有可能的点组合，并跟踪贴近度函数的最小值，即Om^n算法，但我想知道是否有一种更有效的方法可以缩放n和m的大值-如果不是在最坏的情况下，那么至少对于大多数输入

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更新：点将具有实际值作为坐标；使用整数来简化例子。

首先我们可以考虑对蛮力算法的改进。

Om^n是一个巨大的数字！我们如何加强这一搜索？ 您没有搜索保证最小值的集合的全局覆盖范围。 此外，解决方案中需要每个集合的一个点。 新的暴力算法将如下所示：

对于S0中的每个点p，找到S1…Sn-1中距离p最近的点

该算法的计算复杂度为Omnm

我们能进一步改进算法吗？对

我们可以采用一种新的方法来加速邻居搜索。基本上，您需要在Omlogm中构建n Kd树，并使用它们将平均情况下的复杂性降低到Omn*logm

这个算法总是找到最小值吗？没有

看看这个例子：

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正如您所看到的，使用前面的算法获得的簇间距离不是最优的，它只是一个最近邻启发式算法。好消息是，您将接近解决方案。您可以采用来查找全局最小值

您可以使用点的Delaunay三角剖分。该三角剖分图对邻近信息进行编码：每个顶点通过Delaunay三角剖分的一条边连接到其最近的邻居。您可以使用Delaunay三角剖分和联合查找来创建点集。

这可以看作是一个问题。解决此问题的一种方法是构建一棵树，并通过保持当前最佳点集，对其调用的树的每个分支进行DFS检查。下面是您的示例的示例：

沿着最左边的分支走，找到第一个结果。然后每次你沿着一条树枝往下走，如果在某个点上你计算的距离比你的实际结果要好，你可以停止对树枝的探索——你往下走不会得到更好的结果

这可能与几个点无关，但如果你有10组10个点，这是一个好方法。加速该过程的一个简单方法是将最小的集合放在树的顶部（无节点和分支）

显然，在最坏的情况下，最右边的分支是最好的分支。但不太可能每个后续分支都会比前一个好，因此您仍然应该获得一些时间

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注意：在计算两点之间的距离时，不要忘记存储它，这样以后就不必重新计算了。

谢谢你的建议。这就是我所想的方向——计算每个点集的Voronoi网格并将其叠加。仍在研究细节。我忘了提到点不一定有整数坐标，所以union find可能不适用。据我所知，union find不依赖于任何方式来表示对象。例如，看看算法的描述：+1，因为这是一个相对于我的启发式解决方案较慢的解决方案，但如果m和n的值合理较小，则始终会给出最小值。