Algorithm 将树线性化为数组并回答；sum"；路径查询

这个问题是由codechef中的问题引起的。在中，他们建议通过在

DFS

遍历中记录每个节点的发现和退出时间，将树线性化为一个数组。现在，我们可以通过对该节点的

[发现时间，退出时间]

段中发生的事件求和，快速回答有关

求和子树的查询。（我们使用
Fenwick
树快速回答这些问题）

然而，要解决这个问题，我们还需要快速回答
求和路径
查询。也就是说，将沿
a，b
之间的最短路径发生的事件求和。这怎么可能？他们给出的答案是：

对于每个有趣的事件，他们都会更新以下内容：

    update(BT2,event_node,1);
    update(BT2,out[event_node],-1);

和路径（a，b）
现在是：

    int l = lca(a,b);
    ans = query(BT2,a) + query(BT2,b) - query(BT2,l) -  (l==1  ? 0 : query(BT2, parent[0][l]));

其中
query
是前缀和。这怎么正确？？当您查看前缀sum直到
a
时，可能会遇到许多与
l
和
a
之间的路径无关的节点
 为了线性化a
求和路径
查询-树节点之间最短路径上发生的事件之和
a，b
我们确实必须执行以下操作：

当在节点
v
中发生事件时，我们
更新（在[v]，1）
和
更新（在[v]，-1）
IN
是节点的DFS
发现时间
和
OUT
DFS
退出时间

现在查询将是
query（在[b]中）-query（在[a]-1中）
。
查询（在[b]）
是一个前缀和：它从根开始，遍历树，直到到达
b
。请注意，对于每个节点
v
，我们将不在从根节点到
b
的直接路径上传递，我们将发现并最终退出它。仅对于路径上的节点，我们将发现而不是退出。由于我们更新的方式，这意味着我们将有效地对路径
根上的节点求和，b
（包括
b
）

现在很明显，在
查询（在[a]-1中）
中也会发生同样的情况-它是路径
根上的节点的总和，a
（这次不包括
a
）。减去它们，我们得到
a，b
。画一张草图，你们自己会看到的


为了完整性，
和子树
的方法在
更新
和
查询
中有所不同。对于每个事件，您仅更新（在[v]中）

。现在查询

sum子树（a）

我们做

query（OUT[a]）-query（IN[a]-1）

。这次在

query（OUT[a]）

中，我们将遍历的所有节点相加，直到发现

a

，然后将

a

子树中的所有节点相加，直到我们退出它。现在我们减去

query（在[a]-1中）

-所有节点，直到我们发现

a

。我们只剩下

a

子树