Algorithm 矩阵的每行和每列中正好有一个值

我试图找出解决此问题的最佳方法： 有这样一个矩阵：

1 0 0 1 0
1 1 0 1 0
1 1 0 0 1
0 0 1 1 0
1 0 1 0 0

我们希望找出每一个可能的矩阵，其中每行和每列中只有一个1，例如，该矩阵是一个可能的解决方案：

1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0

我认为您可以找到一个解决方案，通过循环遍历每个可能的组合，并检查每行和每列中是否正好有一个1？有没有已知的算法？ 是否有可能计算出解决方案，而不是尝试所有的可能性

多谢各位

编辑： 一种可能的解决方案（但代价高昂）可能是生成每个理论上可能的矩阵，例如（使用3x3矩阵，因为它较短）： 一,

二,

三,

四,

五,

等等

然后，我们可以检查每个生成的矩阵，如果原始矩阵在给定位置有1。如果是，这是一个解决方案

---

生成所有这些矩阵需要哪些循环？

我已经编写了以下简单代码（使用矩阵）：

我希望它对您有用。

编辑： 根据你的评论，我重新阅读了原来的问题，意识到我完全没有抓住问题的关键。我将在这里发布一个（希望）更相关的答案，但是人们可以随意撤销任何投票。我讨论过发布一个新的答案并删除这个答案，如果人们认为这是一条路，我仍然可以这样做

新答案： 以下是我现在如何理解你的问题。给定一个平方二元矩阵a，求出所有矩阵B，使得每行B中的元素和为1，每列中的元素和为1，对于所有元素B（r，c）==1，原始矩阵a（r，c）==1的对应元素

编辑2： 这里的问题是，您希望找到所有的解决方案。而且有很多。对于所有1的nxn矩阵，您将拥有

n解决方案。对于每一行都有
m
1的矩阵，您可能会有如下内容

mn-m*m

解决方案。因此，即使你有一个非确定性的算法在O（1）时间内生成所有的解，简单地打印出来的时间复杂度仍然是指数级的

正如Smith42先生在评论中提到的，您可能需要进行回溯搜索，但您可以做一些事情来减少搜索空间：

您可以进行的最简单检查是在中查找只有一个1的行/列。（显然，如果有任何行/列的no1，则没有有效的解决方案。）如果行r在列c中只有一个1，则将列c中的所有其他元素设置为0。同样，如果列c在行r中只有一个1，则将所有其他元素设置为
行r到0。在您的示例中：

1 0 0 1 0     1 0 0 1 0     1 0 0 1 0
1 1 0 1 0     1 1 0 1 0 ==> 0 1 0 0 0
1 1 0 0 1 ==> 0 0 0 0 1     0 0 0 0 1
0 0 1 1 0     0 0 1 1 0     0 0 1 1 0
1 0 1 0 0     1 0 1 0 0     1 0 1 0 0

第5列中只有一个1，因此B中的第3行必须在B（3,5）处有一个1才能有效。这意味着我们可以修改输入矩阵A，并在不丢失任何有效解的情况下（稍微）减少搜索空间。现在，第2列中只有一个1，可以将第2行中的其他值设置为0

接下来，您可以在搜索过程中使用前向检查，以防止在不可能找到有效解决方案的子矩阵中进行搜索。假设您得到以下矩阵：

1 0 0 1 0
0 1 1 0 1
1 1 0 0 1
0 0 1 1 0
1 0 1 0 0

没有只有一个1的行或列，因此我们开始赋值。假设我们遵循回溯算法，直到（在步骤1中）将第4列指定给第1行。我们将第1行和第4列中的其他条目设置为x，以表明它们已被分配：

               Step 1        Step 2
1 0 0 1 0 ==> x x x 1 x     x x x 1 x
0 1 1 0 1     0 1 1 x 1 ==> x x 1 x 1
1 1 0 0 1     1 1 0 x 1     1 1 x x 1
0 0 1 1 0     0 0 1 x 0     0 0 x x 0
1 0 1 0 0     1 0 1 x 0     1 0 x x 0

在步骤2中，我们将第3列指定给第2行，并将行和列设置为assigned

请注意，在第4行中，我们没有剩余的1，因此不可能通过此赋值获得有效的解决方案。我们可以立即回溯，为第2行和第1行尝试不同的赋值

原始（错误）答案
每一个可能的nxn矩阵，每一行和每一列中正好有一个1，其余的0是单位矩阵的置换。也就是说，对于n=5，您可以通过交换矩阵的行（或相当于列）来获得此类型的每个有效矩阵：

1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1

例如，如果将最后一行交换为行，则会得到：

1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0

要自动生成所有可能的有效矩阵，首先为单位矩阵的每一行指定一个索引，例如从上到下的1-5：

1- 1 0 0 0 0
2- 0 1 0 0 0
3- 0 0 1 0 0
4- 0 0 0 1 0
5- 0 0 0 0 1

然后，您只需生成所有的n！{1,2,3,4,5}的可能置换。{1,2,3,5,4}的排序将给出上面的第二个矩阵。
这是一个二部匹配问题

考虑一个二部图，其中一个集合（r）中有r个顶点，另一个集合（c）中有c个顶点，其中r和c分别是行数和列数。
在给定矩阵中，当元素
[i，j]
存在时，顶点
i
（在集合R中）和顶点
j
（在集合C中）之间的边为1

如果要查找最大数目为1的矩阵（最大二部匹配），可以使用

在
O（V.E）

或

在
O（sqrt（V.E）
中运行时，使用回溯来减少搜索空间。与经典回溯不同：当你找到第一个解得到所有解时，不要退出。如果你必须生成每一个满意的矩阵，那么就没有摆脱蛮力的复杂性：考虑所有1s组成的输入矩阵。谢谢！如果我理解正确，这只是一个循环，如果第一个循环不是解决方案，我们就找不到一个。如果我们没有解决方案并检查每个可能的解决方案，那么外部循环将如何继续？好的，我将研究某种回溯/蛮力方法的算法，但我猜矩阵的大小是否更大，以及1和0的组合
1 0 0 1 0     1 0 0 1 0     1 0 0 1 0
1 1 0 1 0     1 1 0 1 0 ==> 0 1 0 0 0
1 1 0 0 1 ==> 0 0 0 0 1     0 0 0 0 1
0 0 1 1 0     0 0 1 1 0     0 0 1 1 0
1 0 1 0 0     1 0 1 0 0     1 0 1 0 0

1 0 0 1 0
0 1 1 0 1
1 1 0 0 1
0 0 1 1 0
1 0 1 0 0

               Step 1        Step 2
1 0 0 1 0 ==> x x x 1 x     x x x 1 x
0 1 1 0 1     0 1 1 x 1 ==> x x 1 x 1
1 1 0 0 1     1 1 0 x 1     1 1 x x 1
0 0 1 1 0     0 0 1 x 0     0 0 x x 0
1 0 1 0 0     1 0 1 x 0     1 0 x x 0

1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1

1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0

1- 1 0 0 0 0
2- 0 1 0 0 0
3- 0 0 1 0 0
4- 0 0 0 1 0
5- 0 0 0 0 1