Algorithm 用动态规划求解加法链问题

给您一个正整数a。目标是使用以下规则构造以a结尾的尽可能短的整数序列：

序列的第一个元素是1

每个连续元素是任何两个之前元素的总和（也允许向其自身添加单个元素）

每个元素都大于前面的所有元素；也就是说，序列在增加

例如，对于A=42，可能的解决方案是：

[1, 2, 3, 6, 12, 24, 30, 42]

A=42的另一种可能的解决方案是：

[1, 2, 4, 5, 8, 16, 21, 42]

在阅读了问题陈述之后，我想到的第一件事是（DP），因此我将其表示为一个，并尝试编写一个递归解决方案

A=8以下的搜索空间为：

                1
                |
                2
               / \
              /   \            
             3     4
            /|\   /|\
           / | \ 5 6 8
          /  |  \
         4   5   6
       /| |\  
      5 6 7 8

---

我们可以看到4发生在两个地方，但在这两种情况下，4岁的孩子是不同的。在一种情况下，先前的序列是[1,2,4]。在另一种情况下，先前的序列是[1,2,3,4]。因此，我们不能说我们有重叠的子问题。有没有办法将DP应用于上述问题？或者我判断它可以用DP解决是错误的？

这是一个加法链

目前还没有已知的算法可以计算 给定数的最小加法链 合理的时间或小内存使用。然而，有几种技术 要计算相对较短的链存在。一个非常有名的 计算相对较短的加成链的技术是二元法 方法，类似于平方求幂。其他著名的 方法是因子法和窗口法

另见：在IEICE电子、通信和计算机科学基础交易中。

根据第2条规则

每个连续元素是任意两个前面元素的总和

---

该算法确实依赖于重复的子问题，因此动态规划适合于求解它

这个问题有一个纯动态规划的解决方案。但与所有DP解决方案一样，内存和时间的复杂性都是N平方。所以它可能是一个太空猪。但这里是DP解决方案的关键，仅适用于DP爱好者：

概括： 而不是寻找N viz的最小加成链长度。l（N），我们用i&leq求同时包含i和j的加成链的最小长度；j和j是链中的最大值。把这个长度称为A（i，j）。显然，我们有

l（N）=A（1，N）=A（N，N）

A（1，N）=A（2，N）如果N&geq；二,

A（1，N）=1+min（A（i，j）表示1&leq；i&leq；j 预先计算

为了使用较小的A（i，j）来计算任何A（m，n），这是一个典型的DP步骤，我们应用了许多启发式方法

H1：沿途（3）的最小部分保持S（i+j）。然后

 A(1, n) = A(2, n) = A(n, n) = S(n)+1

对于其他m，我们通过在链中最多引入一个新元素来减少n，对于这样一个新元素，我们只需要再多一步就可以得出a（m，n）

H2：如果n是偶数，我们尝试将n/2引入链
H3：尝试将n-m引入链
H4：尝试将n-1引入链
H5：尝试将n-2引入链（当n>2时）

所以A（m，n）取m的最小值A和基于H2-H5的约化n，加上1

---

例如，A（52，100）=1+分钟（A（50，52），A（48，52），A（52，99），A（52，98）），分别应用H2-H5。

否，因为子问题有几种可能的解决方案，我们不知道使用哪一种。参考规则#3该陈述不准确：“但作为所有DP解决方案，内存和时间的复杂性都是N平方。”DP解各不相同。在数学证明中，我建议不要说“显然，我们有…[等式列表]”。参见，许多人不会发现“A（1，N）=1+min（A（I，j）为1≤ 我≤ 两个例子会帮助很多人，一个是偶数，一个是奇数；

A（1,8）=1+min{A（1,7），A（2,6），A（3,5），A（4,4）}

和

A（1,7）=1+min{A（1,6），A（2,5），A（3,4）}

。这些例子让读者更清楚地了解A（i，j）的原因构造是优雅的；它以同样的方式处理偶数和奇数情况。澄清问题你所说的“提前计算”标题是什么意思？这是一个打字错误吗？你是说“提前计算”和“改进计算”中的“启发式”一样吗？我想看一下“泛化”第节包括另一个等式：A（i，j）的一般递推关系（其中i不是1）。没有它，整个递推关系是不完整的。另见