Algorithm 使用具有特定运行时间的算法在图形中查找三角形

我需要找到一个在无向图中找到三角形圈的算法。算法的运行时间应为n^2,81

我真的不知道如何才能做到这一点。如果有人能帮忙，那就太好了

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谢谢

您搜索的算法是矩阵乘法。 将邻接矩阵与自身相乘三次，并在主对角线中搜索非零中心。 矩阵乘法是O（N^2.81）：

编辑：

回想一下，在邻接矩阵的第i行中，连接到i的每个顶点都有“1”，列也是如此

当你将矩阵与自身相乘时，（M^2）ij=sum（Mik*Mkj）。换句话说，（M^2）ij是从i到j的两条边路径的数目

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现在如果你再乘以得到M^3，在每个单元格（M^3）ij中，会有从i到j的三条边路径的数目。因此，在主对角线（M^3）ii中，将有从i到i的三条边路径的数量，一个三角形。

另一种方法是使用算法的修改版本。试着想象一个简单的图形，一个三角形。从具有BFS的任何顶点开始，存储父节点以及与根的距离。 每当遇到已访问（但未完成）的顶点时，可以将其简单地涂成灰色，必须检查距离和父顶点

   B     Start BFS from A: node A has dist=0, parent=Null
  / \                      node B has dist=1, parent=A
 /   \                     node C has dist=1, parent=A
A - - C

例如，您现在在C上，B已访问，A已完成（黑色），现在您检查C的相邻位置，看到B并检查距离是否相同，是否有相同的父项，如果为true，则找到三角形，如果不是，则遇到循环，但不是三角形

这将比

O（n^2）

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该算法（BFS）的复杂度是顶点数+边数：

O（|V|+|E|）

你见过N.Alon、R.Yuster和U.Zwick发现和计算给定长度的循环吗？（Algorithmica（1997）17:209-223）没有，但谢谢你，我会读一读的！回答得很好-但我会详细说明解决方案（即使是简单的编码示例）有趣！我原以为这与斯特拉森的算法有关，但我不知道如何用它来找出问题的解决方案。我想我没有把矩阵和路径结合起来的背景知识。我该如何将路径转化为矩阵？@shuki avraham因此，如果我有图1--2--3--4，我会得到邻接矩阵01 01 01 01 01 01 01 01 01 0，我会使用Strassen将矩阵相乘三次，以节省运行时成本。然后通过最后一个矩阵，我将添加对角线，以确定形成了多少个三角形。这个数字不是太高了吗显然，我的示例不包括三角形；）我会把对角线的总和除以6，考虑到我在计算两个方向上的所有边和路径吗？到目前为止，这是正确的吗？@Jenniferagner是的，每个三角形都被计算6次，所以你需要除以6。请注意，此方法不会提供三角形列表，只提供数字。三角形的数量可能多达O（n^3），因此列出它们的速度无法加快。@JenniferMagner更正。这不起作用。只有当三角形的两条边在bfs树中时，您的方法才能找到三角形。可以有一个三角形，其两条边不在树中。考虑图：{（1,2），（1,3），（2,4），（2,5），（3,5），（3,6），（5，6）}。它的bfs树是{（1,2）、（1,3）、（2,4）、（2,5）、（3,6）}。图中唯一的三角形（3,5,6）将找不到。@shukiavraham谢谢你的回答，你认为还有其他方法可以替代你发布的方法吗？（矩阵乘法）您可以得到

O（E*max（deg（v））

如果限制边的数量或最大阶数，这会更好。对于每个

边（u，v）

检查

v

的邻接列表并搜索顶点

w

s.t。存在一个

边（w，u）

。