Algorithm 如何最大限度地减少添加的数量？

例如：如果输入是，5*8，以下方法之一，可以加上较大的数字或较小的次数，这就是答案。但我如何才能最大限度地减少添加的数量

我喜欢Codor关于使用移位和零加法的建议

但是如果你真的只使用加法，而不使用移位、日志、减法等其他运算，我相信计算a*b的最小加法数将是：

Multiply two numbers without using * operator, and with minimum number of additions

在哪里

• numbits（n）是的二进制表示形式中的个数 整数n
  • 例如，numbits（4）=1，numbits（5）=2，等等
• int[x]是浮点x的整数部分
  • 例如，int[3.9]=3

现在，我们是如何到达那里的？首先看一下您的原始示例。您至少可以将添加项分组在一起。例如

min{int[log2(a+1)] + numbits(a), int[log2(b+1)] + numbits(b)} - 2

为了概括这一点，如果需要仅使用使用a的加法或已计算的加法结果将a乘以b，则需要：

• int[log2（b+1）]-1加法，计算所需的所有2^n.a中间数
  • 在您的示例中，int[log2（5+1）]-1=2：您需要两个加法来计算16和32
• numbits（b）-1个加法，将所有中间结果相加，其中numbits（b）是b的二进制表示中的一个数
  • 在您的示例中，5=2^2+2^0所以numbits（5）-1=1：您需要一个加法来完成32+8

有趣的是，这意味着你的声明

8+8=16
16+16=32
32+8=40

并非总是将添加次数减至最少的配方

例如，如果需要计算2^9*（2^9-1），则基于（2^9-1）计算加法比基于2^9计算加法要好，即使2^9更大。最快的方法是：

add the bigger number smaller number of times

然后

x = (2^9-1) + (2^9-1)

8次，共9次添加

如果将2^9添加到自身，则需要8个加法才能首先获得所有2^k*2^9，然后再添加8个加法才能将所有这些数字相加，总共16个加法。

减少加法数量的一个策略是按层次添加内容。这与经典幂算法中使用的策略相同，它遵循相同的技术来最小化乘法次数

假设你需要

x = x+x

一旦你计算出m2=a+a，你就可以把它代入上面的加法中，得到

M = a * 8 = a + a + a + a + a + a + a + a

然后您可以计算m4=m2+m2，并得出

M = m2 + m2 + m2 + m2

因此，结果是在

3

加法中计算的，而不是原来的

8

。但是，向自身添加值可以用左移位

1

位来代替（如果允许的话），这将大大减少添加的次数

通过分析其中一个被乘数的二进制表示，可以优雅地实现该技术（与幂算法中通常实现的完全相同）。例如，如果您需要计算

a*b

，您可以这样做

M = m4 + m4

intm=0；
对于（int m=a；b！=0；b>>=1，m一个更好的例子是
5*7
。这本质上是使用旧方法的二进制乘法，但需要巧妙地选择乘法器

  111
x 101
------
  111
 000x    <== This is not an addition, only a left shift
111xx
-------
100011   <== 2 additions totally.
-------

如果我们可以使用左移位，但这不算作加法：选择位数较小的数字作为乘法器。在这种情况下，这将是
5

int M = 0;
for (int m = a; b != 0; b >>= 1, m <<= 1)
  if ((b & 1) != 0)      
    M += m;

上面有三个移位和零加法。
假设a与b相乘，我们将结果存储在res中，只有当b为奇数时，我们才将a与res相加，否则继续将b除以2并将a乘以2。这在循环中完成，直到b变为0。乘法和除法可以使用位运算符完成

让两个给定的数字分别为“a”和“b”
1） 将结果“res”初始化为0。
2） 在“b”大于0时执行以下操作
a） 如果“b”为奇数，则将“a”添加到“res”
b） 将“a”加倍，将“b”减半
3） 返回'res'
 渐近？用这个看起来像是家庭作业，比如用二进制在纸上做乘法，看看是否会出现算法。你能用什么运算符？你会使用列表吗？你能在计算后存储值吗（记忆）？取对数，做一个加法，取反对数。如果允许零为常数，你可以用两个减法（否则，三个）代替任何加法。如果允许减法，请查看Booth-2（基数-4-Booth）和非相邻形式（NAF）。使用ab=（（a+b）²-（a-b）²）/4。分解乘数。看一看没有乘法（或比加法慢得多）的机器的编译器为常数乘法生成了什么。这不会减少加法的数量。求幂算法也不会执行最小的乘法运算。@IVlad：是的，它当然会最小化乘法运算。也许可以为某些输入实现更好的最小值，但这实际上是微不足道的。在添加的情况下，用
m立即替换
m+=m
的能力不会最小化，尽管它通常“足够接近”。存在更好的解决方案的最小值是15。如果在某些情况下可以实现更好的最小值，那么根据定义，您不会最小化它。这只是一个启发。这在实践中可能还可以，但在实践中，您也可以只使用
*
运算符（即使在实现大数字时，您也可以使用
*
来模拟小学长乘法算法）。这是一个很好的答案，但针对的是另一个问题。这与我的答案完全相同，是从不同的实践角度给出的。在我发表这篇文章之前，我没有看到你写了什么。我认为这里唯一的附加值是关于乘数的选择。正如你所看到的，当其他答案出现时，我已经迷失在格式上：）无论如何，乘法的方法真的很少（当处理两个的乘法时）
    101
 x 1000
 -------
    000
   000x  <== left shift
  000xx  <== left shift
 101xxx  <== left shift
--------
 101000  <== no addition needed, so 3 additions totally.
--------