Algorithm 将Catalan递归算法转换为迭代算法

大家好，所有强大的黑客、数学家和程序员

我努力为下面的加泰罗尼亚数字方程创建一个递归算法

C（n）=∑ C（i）−1） C（n）−i） （使用斯特林数或其他形式简化该方程不是一种选择。）

以下是目前为止的递归算法：

int Cval[1024];//1024 just for example

int C( int n )
    {
    if( Cval[n] ) != ­1 ) return Cval[n];
        int ans = 0;
        if( n == 0 ) ans = 1;
        for( int i = 1; i <= n; i++ )
            ans += C( i ­- 1 ) * C( n ­- i );
                return Cval[n] = ans;
    }

int main()
{
    for( int i = 0; i < 1024; i++ ) Cval[i] = ­1;
    // call C(n) for any n up to 1023
}

int-Cval[1024]//举个例子
内部C（内部n）
{
如果（Cval[n]）！=-1）返回Cval[n]；
int ans=0；
如果（n==0）ans=1；
对于（int i=1；i创建一个C数字数组，并构建它。它实际上比递归版本（将多次计算大多数数字）处理更少，占用更少的空间（因为数组位于连续内存中，而不是通过调用堆栈展开）

这还有一个优点，即您可以缓存结果以进行高效处理。
您正在尝试实现一种更通用的模式，称为

您使用的缓存机制有时称为自上而下的动态编程，因为您首先从最大的N开始计算。（顺便说一句，在main中，您只需要为最大的N调用
C（）
，因为加泰罗尼亚数字的规则使其递归调用所有其他值）

为了将此算法转变为自底向上（迭代方法），您需要以
C（x）的方式找到参数的顺序
仅取决于小于
x
的元素。通过按此顺序计算C的值，您始终可以直接使用数组值，而不必依赖于记忆功能：

//initialize your base cases by hand, in 
Cval[0] = 1

//Now handle the inductive cases:
for n from 1 up to N:
    Cval[n] = 0
    for i from 1 to n:
        Cval[n] += Cval[i -1] * Cval[n -i];
    // i-1 and n-i are both less than n, so we know that
    // Cval has already been calculated for them.

为什么不直接使用公式C（n）=（2n选择n）/（n+1）？2n选择n可以迭代计算……或者这是家庭作业？