Algorithm 函数的渐近增长

如何确定给定的fn和gn是θ，ω，大ω，小ω，还是小ω？ -我认为一种方法是绘制函数fn和gn的图形。即使通过绘制图表，我们怎么说fn在θ，ω，大ω，小ω，还是小ω？我不清楚。有人能提供更多的细节吗

我也不确定这是不是正确的方法。有谁能告诉我还有没有其他更简单的方法。

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举个例子：fn=sq rootn和gn=n^sin n

下面是使用极限计算给定fn和gn的Big-O的方法

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在同一组轴上绘制fx和gx的大x值函数应有助于您立即识别渐近行为。

首先，您需要了解所调用函数的复杂性。这可能会被记录下来，但在可能不是的情况下，您必须查看这些函数的源代码

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在这个简单的例子中，您可以计算嵌套循环的数量，以了解事情需要多长时间。如果在从1到t的循环中有一个从1到n的循环，并且只有在内部调用的函数需要恒定的时间，或者只在内部进行算术运算，比如说，这就是t。如果你碰巧知道t你不能通过观察它来确定渐近增长。对于每种类型的渐近增长关系都有正式的定义，可以准确地解释它们的含义。通过从数学上确定两个函数是否满足关系的形式定义，可以确定它们是否适合给定的关系

例如，Big-O的几个等价形式定义之一如下：

f=Og当且仅当lim[n->inf]fn/gn 例如，如果fn=n，gn=n^2，可以观察到极限为n->n/n^2的无穷大=0，因此f=Og

或者，如果fn=n和gn=2n，您可以观察到，作为n->inf，n/2n->1/2 但是，如果fn=n和gn=sqrtn，您可以观察到极限为n->n的无穷大/sqrtn=infinity，因此f！=奥格

你的例子f和g很难理解，因为随着n的增加，正弦在-1和1之间振荡。但是Wolfram Alpha告诉我所讨论的极限是无穷大，所以sqrtn！=关于^ sinn

每个渐近增长关系都有一个类似的形式定义，您可以测试这两个函数是否满足它

编辑：

看起来你在寻找经验法则。这里有一个快速简单的方法来确定相对简单的函数f和g的渐近阶。考虑每个函数中n的最高幂：

如果最高功率相同，则f=Og，g=Of，f=Omegag，g=Omegaf，f=Thetag，g=Thetaf 如果f中的最高功率小于g中的最高功率，则f=Og，f=Og，g=Omegaf，g=Omegaf 如果f中的最高功率大于g中的最高功率，则f=Omegag，f=Omegag，g=Of，g=Of 当然，如果函数不是n中的多项式，或者更复杂，并且不容易确定最高幂是什么，例如，使用正弦的示例，您仍然需要返回到形式定义

有些事情总是正确的：

θ的定义是O和ω的结合。f=Og^f=Omegag f=Thetag[其中^表示逻辑and] 小关系比大关系强。这意味着f=og=>f=og和f=omegag=>f=omegag，但反向方向不正确。

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从理论上讲，绘制函数图是不够的。尽管绘制了一张图表，然后根据它进行推理。而且，实际上，如果您将其绘制为足够大的值，则应该足够了

正确的方法是构造一个证明：

当存在正K和n0时，函数fn为Ogn，使得每n>n0，函数fn 让我们假设fn=sqrtn和gn=n^sinn以及一些K和n0都是这样。 现在考虑N1 比这个n0大 大于1 大于K² 方程gn1=1适用的 满足这些条件的数字是无穷多的：当sinn1=0时，gn1=1，即对于任何整数a，n1=a×π。将它们限制为n1>maxn0，1，K²仍然会留下无限多的可能性，所以我们选择一个

我们得到了gn1=1。fn1的价值是多少？这就是sqrtn1，它比K大，因为n1>K²

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让我们把它放在一起：K这就是问题所在。@svick:不，我的意思是，如果函数f调用f1和f2，您需要知道或确定f1和f2的复杂性。在第二段中，我非常简短地详细描述了确定复杂性的基本原理——对于一个如此广泛的问题，这几乎是我所能做的。实际上，我在这里只处理函数。我知道自己在做什么

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它来自循环，但我这里的问题是计算函数的渐近符号。比如说fn=5n+1^4-n^2 gn=n+5^4+n+10^2。对于这样复杂的函数，我们怎么能说它在θ，大的oh，ω，小的o，小的ω中呢？用字号大小的输入，它们都是O1。对于多精度输入，数字可能会变得任意大，这取决于用于加法和加电的算法。如果使用标准教科书方法，将n和m相乘，其中n和m是正整数，取m*logn，相加取m+logn。对于平方和倍频，符号^2n和符号n。因此，在这种情况下，你的例子将是图表^2n。如果你使用更先进的算法，它可以更快地处理大的输入。@Charles:他说的不是计算这些函数的复杂性，而是函数本身的复杂性。我想你指的是L Hospitals规则。我认为对于Big-O，他们提到的条件是limx->infinityfx/gx=0这是小O的定义。Big-O只要求极限是有限的——它可以大于零。但如果我想避免那些数学计算，并且我更喜欢绘制图形，我能对所有5个渐近符号θ、大O、ω、小O和小ω都这样做吗？如果是的话，我如何从图中计算出来。我假设如果fn大于gn，那么它应该是ω和小ω。同样，如果fn低于gn，那么它就是大oh和小o。对吗？但是我不确定θ。我已经看过了所有5个函数的形式定义，我完全理解了上面描述的更简单的函数，fn=n，gn=n^2。但是我不理解的是复杂的函数，比如说1fn=5n+1^4-n^2gn=n+5^4+n+10^2 nlogn^2，n^2logn3 1/sq rootn，1/logn43^n+4n-17*n/17+6，3^n+3第一个例子很简单，可以使用我给出的经验法则。fn中的最高功率是4，gn中的最高功率也是4，因此f是Og、Omegag和Thetag。在第二个和第三个例子中，不清楚所涉及的最高幂是多少，因此必须取两个函数的比率并计算它们的极限。停止对抗不可避免：如果你想在更复杂的函数上计算渐近增长关系，你必须计算极限。这是没有办法的。如果你不知道如何计算极限，找一个微积分文本。如果我把上面的1推到这个1fn=5n+1^4.1-n^2gn=n+5^4+n+10^2，对于43^n+4n-17*floorn/17+6，3^n+3，它显然是一个指数函数。fn是n+4的幂，gn是n+3的幂，所以我想我们可以说，对于n的任何值，fn的增长速度都比gn快。因此fn=wgn和Omegagn。你同意吗？对于big oh来说，条件应该是fn，不管是否合适，我明白你的意思。然而，我不认为我清楚地理解你上面提到的关于fn的证明解释=奥根。你能详细说明你的理由吗=Ogn？对不起，证据中有一个错误：我忘了解释K。我还试图让它更清楚。现在好点了吗？