Algorithm 随机访问固定字母表中3个符号的已排序集合的枚举

假设我们有一个字母表，比如说5个字符：ABCDE

我们现在要列举其中3个字母的所有可能集合。每个字母在一个集合中只能出现一次，字母的顺序无关紧要（因此集合中的字母应该被排序）

因此，我们得到以下集合：

ABC

阿布德

阿贝

ACD

王牌

艾德

卡介苗

BCE

溴化二苯醚

CDE

总共10套。顺序是按词典编纂的

现在，我们假设字母表长度为

N

（本例中为5），集合长度为

M

（本例中为3）。知道

N

和

M

，如果可能的话，我们怎么可能：

告诉最坏情况下组合的总数

O（M+N）

（本例中的答案是10）

在最坏情况下输出任意给定数字的组合（给定1，返回ABC；给定5，返回ACE等）

O（M+N）

---

用

O（M^N）

复杂度生成整个列表是很简单的，但我想知道是否有更好的解决方案。

第一个问题的答案很简单：它是

C（N，r）

，我们要从一组大小

N

中选择

r

项的所有组合。公式包括：

C(n,r) = n! / (r! (n-r)!)

选择第i个组合而不计算所有其他组合的能力取决于是否具有将组合编号i与组合关联的编码。这将是更具挑战性的，需要更多的思考

（编辑）

仔细考虑这个问题后，Python中的解决方案如下所示：

from math import factorial

def combination(n,r):
    return factorial(n) / (factorial(r) * factorial(n-r))

alphabet = "ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"

def showComb(n,r,i,a):
    if r < 1:
        return ""
    rr = r-1
    nn = max(n-1,rr)
    lasti = i
    i -= combination(nn,rr)
    j = 0
    while i > 0:
        j += 1
        nn = max(nn-1,1)
        rr = min(rr,nn)    # corrected this line in second edit
        lasti = i
        i -= combination(nn,rr)
    return a[j] + showComb(n-j-1,r-1,lasti,a[(j+1):])

for i in range(10):
    print(showComb(5,3,i+1,alphabet))

。。。这证实了这120个例子都是正确的

---

我还没有精确计算时间复杂度，但是对

showComb（）

的调用次数将是

r

，而

while

循环将执行

n

次或更少。因此，在这个问题的术语中，如果我们假设

factorial（）

函数可以在恒定时间内计算，我非常确定复杂性将小于O（M+N），我认为这不是一个糟糕的近似，除非它的实现是幼稚的

第一个问题的答案很简单：它是

C（n，r）

，我们从一组大小

n

中选择

r

项的所有组合。公式包括：

C(n,r) = n! / (r! (n-r)!)

选择第i个组合而不计算所有其他组合的能力取决于是否具有将组合编号i与组合关联的编码。这将是更具挑战性的，需要更多的思考

（编辑）

仔细考虑这个问题后，Python中的解决方案如下所示：

from math import factorial

def combination(n,r):
    return factorial(n) / (factorial(r) * factorial(n-r))

alphabet = "ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"

def showComb(n,r,i,a):
    if r < 1:
        return ""
    rr = r-1
    nn = max(n-1,rr)
    lasti = i
    i -= combination(nn,rr)
    j = 0
    while i > 0:
        j += 1
        nn = max(nn-1,1)
        rr = min(rr,nn)    # corrected this line in second edit
        lasti = i
        i -= combination(nn,rr)
    return a[j] + showComb(n-j-1,r-1,lasti,a[(j+1):])

for i in range(10):
    print(showComb(5,3,i+1,alphabet))

。。。这证实了这120个例子都是正确的

---

我还没有精确计算时间复杂度，但是对

showComb（）

的调用次数将是

r

，而

while

循环将执行

n

次或更少。因此，在这个问题的术语中，如果我们假设

factorial（）

函数可以在恒定时间内计算，我非常确定复杂性将小于O（M+N），我认为这不是一个糟糕的近似，除非它的实现是幼稚的

同意第一部分很简单，用你选择的语言表达类似的等式

x=12
y=5
z=1
base=1
until [[ $z -gt y ]]
do
 base=`echo $x $z $base|awk '{print ($1/$2) * $3}'`
 x=`expr $x - 1`
 z=`expr $z + 1`
 echo base:$base
done

echo $base

上面的示例使用了12个项目，以5个为一组，用于792个组合

---

做你问题的第二部分。。。我只是在想，但它不是直截了当的。

同意第一部分很简单，用你选择的语言表达类似的等式

x=12
y=5
z=1
base=1
until [[ $z -gt y ]]
do
 base=`echo $x $z $base|awk '{print ($1/$2) * $3}'`
 x=`expr $x - 1`
 z=`expr $z + 1`
 echo base:$base
done

echo $base

上面的示例使用了12个项目，以5个为一组，用于792个组合

---

做你问题的第二部分。。。我只是在想，但它不是直截了当的。

看起来很棒！我一直在修改您的解决方案，并尝试将I范围（120）：打印（showComb（10,3，I+1，字母表））的循环更改为

。但它会产生错误的组合和崩溃。@dragonroot:谢谢您的测试！是的，当
n-r
大于2时，代码中出现了一个bug。我已经在上面编辑的答案中更正了。看起来很棒！我一直在修改您的解决方案，并尝试将I范围（120）：打印（showComb（10,3，I+1，字母表））的循环更改为
。但它会产生错误的组合和崩溃。@dragonroot:谢谢您的测试！是的，当
n-r
大于2时，代码中出现了一个bug。我已经在上面编辑的答案中更正了它。