Algorithm 按姓氏把人分成几个房间？

我经常教大型的编程入门课程（400-600名学生），当考试时间到来时，我们常常不得不将课程分成不同的教室，以确保每个人都有座位参加考试

为了保持逻辑上的简单，我通常按姓氏将类分开。例如，我可能会把姓A-H的学生送到一个房间，姓I-L的学生送到第二个房间，姓M-S的学生送到第三个房间，姓T-Z的学生送到第四个房间

这样做的挑战是，教室的容量往往相差悬殊，很难找到一种方法来划分班级，使每个人都能适应。例如，为简单起见，假设姓氏的分布如下：

• 姓氏以A:25开头
• 姓氏以B:150开头
• 姓氏以C:200开头
• 姓氏以D:50开头

假设我有容量为350、50和50的房间。查找房间分配的贪婪算法可能是将房间按容量降序排序，然后尝试按该顺序填充房间。不幸的是，这并不总是有效的。例如，在这种情况下，正确的选择是将姓氏A放在一个50号房间，姓氏B-C放在350号房间，姓氏D放在另一个50号房间。贪婪算法会将姓氏A和B放入350人的房间，然后无法为其他人找到座位

通过尝试房间排序的所有可能排列，然后对每个排序运行贪婪算法，很容易解决这个问题。这将查找有效的分配或报告不存在分配。然而，考虑到房间数量可能在10到20之间，并且检查所有排列可能不可行，我想知道是否有更有效的方法来做到这一点

总而言之，正式的问题陈述如下：

你会得到一个班级学生姓氏的频率直方图，以及一个房间及其容量的列表。你的目标是按照学生姓氏的第一个字母将他们分开，这样每个房间都会被分配一个连续的字母块，并且不会超过其容量

是否有一种有效的算法，或者至少有一种算法对合理的房间大小有效

编辑：许多人都询问过相邻条件。规则是

• 每个房间最多应分配一块连续的字母，以及
• 不得将任何信件分配给两个或多个房间

例如，不能将A-E、H-N和p-Z放在同一个房间中。你也不能把A-C放在一个房间，B-D放在另一个房间

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谢谢

这个问题是

NP完全的

，因此没有已知的

多项式

时间（也称有效）解决方案（只要人们不能证明

p=NP

）。您可以将背包或箱子包装问题的实例简化为您的问题，以证明它是

NP完全的

要解决这个问题，你可以使用0-1背包问题。以下是如何： 首先选择最大的教室大小，并尝试分配尽可能多的学生组（使用0-1个背包），即与房间大小相等。你保证不会分裂一组学生，因为这是0-1背包。完成后，到下一个最大的教室继续上课

（您可以使用任何已知的启发式方法来解决0-1背包问题。）

这是降价单-- 您需要将0-1背包的一般实例简化为问题的特定实例。 让我们来举一个0-1背包的一般例子。让我们拿一个重量为

W

的袋子，你有

x_1，x_2。。。x_n

组及其相应的权重为

w_1，w_2。。。w_n

现在简化——这个一般实例简化为您的问题，如下所示： 您有一间可容纳座位的教室

W

。每个

x_i（i\in（1，n））

是一组学生，他们的最后一个字母表以

i

开头，他们的数字（也称为组大小）是

w_i

现在你可以证明，如果0-1背包问题有解，你的问题有解……反之亦然……如果0-1背包没有解，那么你的问题就没有解，反之亦然

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请记住简化的重要内容——将已知

NP-C

问题的一般实例简化为您的问题的特定实例

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希望这有帮助：）

可以在

[m，2^n]

空间中使用某种DP解决方案来解决，其中

m

是字母数（英文为26），而

n

是房间数。使用

m==26

和

n==20

将需要大约100MB的空间和约1秒的时间。 下面是我刚在C语言中实现的解决方案（它将成功地在C++和java上编译，只需要几个小的改动）：

int[]GetAssignments（int[]studentsPerLetter，int[]rooms）
{
int numberOfRooms=房间长度；
int numberOfLetters=studentsPerLetter.Length；
int roomset=1=0&&roomCapacity>=studentsPerLetter[lastIndex]；lastIndex--）
{
res[lastIndex]=lastRoom；
房间容量-=学生人数[lastIndex]；
}
roomMask^=1-1？空值：res；
}

OP问题示例：

答案是：

2
0
0
1

表示每个学生姓氏字母的房间索引。如果无法分配，我的解决方案将返回

null

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在数千次自动生成的测试之后，我的朋友发现代码中有一个错误，它会反向构造解决方案。它不会影响主算法，因此修复此错误将是读者的一项练习

揭示错误的测试用例是

students=[
2
0
0
1