Algorithm 图中节点长时间连通性的检测

我从一个没有边的

N

节点图开始

然后我开始执行

M

预定步骤

在每一步中，我必须在两个节点之间创建一条边，或者删除一条边

在每一步之后，我必须打印出图形中有多少连接的组件

对于

M

，是否有一种时间线性算法来解决这个问题？如果不是，在最坏的情况下，是否有一个比

O（min（M，N）*M）

更好

编辑：

程序无法决定

M

步骤是什么

我必须从输入中读取，我是应该创建边还是删除边，以及应该创建/删除哪个边

因此，示例输入可能是

N = 4
M = 4
JOIN 1 2
JOIN 2 3
DELETE 2 3
DELETE 1 2

那么我的输出应该是

3 # (1 2) 3 4
2 # (1 2 3) 4
3 # (1 2) 3 4
4 # 1 2 3 4

---

有很多方法可以完全在线解决这个问题，但它们比这个答案更复杂。我提出的算法是维护可用边的生成林，以及生成林的组件数量（因此是图）。如果我们完全在线解决这个问题，那么这将是一个问题，因为跨越森林的边缘可能会被删除，让我们通过未使用的边缘进行替换。但是，我们知道当前图形中的每条边将在多长时间内被删除

我们维护的特定生成林是最大权重生成林，其中每个边的权重是其删除时间。如果删除了属于该跨越林的边，则不会进行替换，因为连接由其端点表示的组件的每一条其他边要么尚未插入，要么已经删除了权重较小的边

由于Sleator和Tarjan的原因，有一个动态树数据结构，也称为链接/切割树，可以在对数时间内提供以下操作

Link(u, v, w) - inserts an edge between u and v with weight w;
                u and v must not be connected already

Cut(u, v) - cuts the edge between u and v, if it exists;
            returns a boolean indicating whether an edge was removed

FindMin(u, v) - finds the minimum-weight edge on the path from u to v
                  and returns its endpoints and weight;
                returns null if either u = v or u and v are not connected

要保持林，插入从u到v的边时，将其删除时间与从u到v的路径上的最小值进行比较。如果最小值不存在，则插入边。如果最小值小于新边，请删除最小值并将其替换为新边。否则，什么也不做。删除从u到v的边时，尝试将其从林中删除

---

该方法的运行时间为O（m logn）。如果你手头没有一个动态树，那么它的实现无疑需要相当长的时间。我没有使用正确的动态树，而是成功地使用了一个简单得多的数据结构，它只将林存储为一组具有权重和父指针的节点。然后运行时间是O（md），其中d是图形的最大直径，如果幸运的话，d比n小很多。

我不确定我是否理解正确，但是你能用前n-1条边连接图形，然后用其余的边填充缺失的边吗？如果到那时你还没有用完所有的m步，请重复一下（删除1个边，添加1个边）直到用完所有的M步？@G.Bach在问题中，您无法选择

M

步是什么。它们是由一些输入预先确定的。您是否可以提前访问整个查询序列？@davidesenstat您可以在打印任何内容之前查看整个输入。