Algorithm 将给定的数字表示为四个平方和

我正在寻找一种算法，它将给定的数字表示为（最多）四个平方的和

例子 120=82+62+42+22
6=02+12+12+22
20=42+22+02+02

我的方法 取平方根，对剩余部分重复此操作：

while (count != 4) {
    root = (int) Math.sqrt(N)
    N -= root * root
    count++
} 

但当N为23时，即使有一个解决方案，也会失败：

32+32+22+12

问题:

有没有其他算法可以做到这一点

这总是可能的吗

---

这是一个简单的

4

循环的解决方案

max = square_root(N)
for(int i=0;i<=max;i++)
  for(int j=0;j<=max;j++)
     for(int k=0;k<=max;k++)
          for(int l=0;l<=max;l++)
              if(i*i+j*j+k*k+l*l==N){
                        found
                       break;
                }

max=平方根（N）
对于（inti=0；i它总是可能的——这是数论中的一个定理，叫做“拉格朗日四平方定理”

为了有效地解决这一问题，本文给出了一种在预期O（（logn）^2）时间内运行的方法

这里有关于实施的有趣讨论：

通过找到。
是否始终可行？
是的，缔约国指出：

每个自然数都可以表示为四个整数平方的和

这已经在几个方面得到了证明

算法
有一些更智能的算法，但我建议使用以下算法：

将数字分解为素数因子。它们不必是素数，但越小越好：因此素数是最好的。然后按如下所示解决这些因子中的每一个的任务，并将得到的任何4个平方与之前找到的4个平方和组合在一起

（a2+b2+c2+d2）
（A2+B2+C2+D2）=

（aA+bB+cC+dD）2+

（aB）− bA+cD− dC）2+

（aC）− 屋宇署− 钙+分贝）2+

（公元前+公元前− cB− dA）2

给定一个数字n（上述因素之一），得到不大于n的最大平方，然后查看n减去该平方是否可以写成三个平方的和，使用：这是可能的，当且仅当该数字不是以下形式时：

4a（8b+7）

如果这个方块不合适，试试下一个较小的方块，直到你找到一个为止。它保证会有一个方块，而且大多数方块都会在几次重试后找到

尝试以与步骤1相同的方式找到一个实际的第二个平方项，但现在测试其可行性，扩展使用它意味着：

如果n与3模4全等的素因子都是偶数指数，那么n可以表示为两个平方和，反之亦然

如果这个正方形不合适，试试下一个较小的，直到你找到为止。保证会有一个

现在我们减去两个平方后有一个余数。试着减去第三个平方，直到得到另一个平方，这意味着我们有一个解决方案。这一步可以通过首先分解最大的平方因子来改进。然后当两个平方项被识别时，每个平方项可以再次乘以该平方的平方根除数

这大致就是这个想法。为了找到主要因素，有以下几种。下面我将使用

这是JavaScript代码，因此您可以立即运行它--它将生成一个随机数作为输入，并显示为四个平方和：


函数除数（n，因子）{
var除数=1；
而（n%系数==0）{
n=n/系数；
除数=除数*因子；
}
返回除数；
}
函数getPrimesUntil（n）{
//素筛算法
变量范围=数学地板（数学sqrt（n））+1；
var isPrime=数组（n）.填充（1）；
var素数=[2]；
对于（var m=3；m0；sq1--）{
n2=n1-sq1*sq1；
//一个数字可以写成三个平方和
//它不是表4^a（8b+7）
如果（（n2/除数（n2，4））%8！==7）中断；//发现了一种可能性
}
//2.找到合适的第二个正方形
对于（sq2=数学地板（数学sqrt（n2））；sq2>0；sq2--）{
n3=n2-sq2*sq2；
//一个数字可以写成两个平方和
//其形式为4a+3的所有素因子都具有偶数指数
factors3=素数。因式分解（n3）；
ok=正确；
对于（系数3中的f3）{
ok=（f3.value%4！=3）| |（f3.count%2==0）；
如果（！ok）中断；
}
如果（ok）中断；
}
//要节省时间，请从以前的因式分解中提取最大的平方因子：
sq=1；
对于（系数3中的f3）{
sq*=数学功率（f3.value，（f3.count-f3.count%2）/2）；
f3.count=f3.count%2；
}
n3/=sq*sq；
//3.找一个合适的第三方
sq4=0；
//b.找到剩余值的平方：
对于（sq3=数学地板（数学sqrt（n3））；sq3>0；sq3--）{
n4=n3-sq3*sq3；
//看看这是否会产生两个平方和：
sq4=数学地板（数学sqrt（n4））；
如果（n4==sq4*sq4）中断；//是！
}
//将平方除数合并回步骤3的结果中：
sq3*=sq；
sq4*=sq；
//4.将这四个正方形与之前的任何四个正方形合并
//使用Euler平方恒等式，我们得到了四倍：
而（f.count--）{
[res1，res2，res3，res4]=[
Math.abs（res1*sq1+res2*sq2+res3*sq3+res4*sq4），
Math.abs（res1*sq2-res2*sq1+res3*sq4-res4*sq3），
Math.abs（res1*sq3-res2*sq4-res3*sq1+res4*sq2），
Math.abs（res1*sq4+res2*sq3-res3*sq2-res4*sq1）
];
}
}
//按降序返回4个方块（为方便起见）：
返回[r]