Algorithm 查找具有属性的有理数

我必须写一个程序来找到一个有属性的有理数。我写了代码来检查属性，但是现在我不知道如何检查所有的有理数。我试过了

float rat;
for (int i=1 ; i ; ++i) {
  for (int j=1 ; j ; ++j) {
    rat = (float)i/(float)j;
    if goodRat(rat) then return rat;
  }
}

但它永远不会结束！它错过了太多。然后我试了这个

float rat;
while {
  int i = random(1000) + 1;
  int j = random(1000) + 1;
  rat = (float)i/(float)j;
  if goodRat(rat) 
      return rat;
}

但这只在某些时候起作用。我怎样才能解决这个问题呢？

这是一种系统地生成所有理性而不重复的方法。参见。

上的其他部分。有理数是可数的，这意味着它们可以与整数一一对应。如果你这样做，你就会有你的解决方案

与给出一对一的对应关系不同，下面是一种更容易理解理性的方法

通过（可数）无限矩阵

Q

构造一个（可数）无限矩阵

Q（i，j）=i/j

，其中

i

和

j

的范围从

1

到

无限。矩阵如下所示：

 1  1/2 1/3 1/4 1/5 . . .
2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 . . .
3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 . . . 
4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 . . .
5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 . . .
 .   .   .   .   .
 .   .   .   .   .
 .   .   .   .   .

当然，有很多重复（整个对角线是1！），但我要简单而不是快速

你要做的是沿着无限的列走，这样你会错过很多数字。相反，你应该沿着反对角线走，这是有限的。也就是说，按以下顺序获取元素

 1  3  6 10 15  . 
 2  5  9 14  .  .
 4  8 13  .  .  .
 7 12  .  .  .
11  .  .  .
 .  .  .
 .  .
 .

所以你会得到
1，2/1，1/2，3/1，2/2，1/3，4/1，3/2，2/3，1/4，
。此外，您知道您将在步骤
（r+s）（r+s-1）/2+s中遇到
r/s
，因此任何给定的有理数都将在有限时间内遇到

对其进行编码的一种方法是将
i
作为行索引（外部
for
loop），将
j
作为列索引（内部
for
loop）。然后，
i
的范围是从
1
到
无限
，但
j
的范围仅是从
1
到
i

如果你的
goodRat
函数需要相当长的时间，那么你可以先测试
i
和
j
是互质函数，如果不跳过它们，就可以加快速度。
首先，关于你的第一次尝试：

float rat;
for (int i=1 ; i ; ++i) {
    // the loop for the first won't be reached
  for (int j=1 ; j ; ++j) {
  // this loop will never end, it will either loop for ever or return something like (floag)1/(float)j
    rat = (float)i/(float)j;
    if goodRat(rat) then return rat;
  }
}

我的建议是，明确你的目的，也许你可以参考一下，当你把它转换成浮点数时，它不再是一个“理性”数。根据定义，有理数表示两个整数的比率。您需要告诉我们goodRat（）的作用。检查大量的理性可能是必要的，也可能不是必要的。如果你不告诉我们目标是什么，我们就无法判断是否有更好的方法。更不用说……在任意两个之间存在无限多的有理数，所以我认为你需要定义你想要更多检查的约束precisely@Ollie：所有浮点值都是有理数。当然，并非所有的有理数都可以表示为浮点数，
（float）i/float（j）
通常并不完全等于
i
和
j
的真实比率@kaveman：这是不相关的。它们仍然是可数的。我只是在浏览你的一些答案，你的数学/数论背景让我困惑！引用当时的话：“简单的测试i和j是互质的”，你就完成了。甜蜜的