Algorithm 最优化问题-寻找最大值

我手头有个问题，可以归结为这样的问题：

假设二维平面X-Y中有一组随机点，其中每个Y上可能有多个点，每个X上可能有多个点

无论何时选择一个点（席，Yi），都不需要选择x=席或y=易的其他点。我们必须选择最大点数。

这不是唯一的选择吗

创建一个n×n矩阵，0位于标记的顶点，1位于未标记的顶点。该算法将选择n个顶点，每行和每列一个，这将最小化它们的总和。只需计算所有选择的等于0的顶点，就可以得到答案

from munkres import Munkres

matrix = [[0, 0, 1],
          [0, 1, 1],
          [1, 0, 0]]

m = Munkres()
total = 0
for row, column in m.compute(matrix):
    if matrix[row][column] == 0:
        print '(%i, %i)' % (row, column)
        total += 1

print 'Total: %i' % total

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它以O（n3）时间运行，其中n是矩阵中的行数。最大流解决方案在O（V3）中运行，其中V是顶点数。只要选择的交叉口超过n个，速度就会更快；事实上，随着所选顶点数量的增加，它的运行速度会加快几个数量级。

对于每个点，确定因选择该点而不合格的其他点（N）的数量（即具有相同X或Y值的点）。然后，按N个不合格点数的增加顺序迭代非不合格点数。完成后，您将删除最大点数。

这可以简化为简单的最大流量问题。如果你有一个点（席，彝），在图中它应该用从源S到点席的路径表示，从席到彝，从彝到最后一个节点（汇）T.< 注意，如果我们有点（2，2）和（2，5），从s到x2仍然只有一条路径。所有路径（边）的容量为1

这个网络中的流量就是答案

关于一般问题

更新
我现在并没有图形编辑器来可视化这个问题，但你们可以很容易地用手画出例子。比如说，点是（3,3）（3,5）（2,5）

那么边（路径）将是
S->x2，S->x3
y3->T，y5->T
x3->y3，x3->y5，x2->y5

流程：S->x2->y5->T和S->x3->y3->T
从源到汇的“水”量是2，答案也是如此

还有一个关于最大流量算法的教程

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这似乎是一个可以用计算机解决的问题。查看最长公共子串的算法，或者。XY平面是一条红鲱鱼。将其表述为一组元素，每个元素都有一组相互排斥的元素

然后，该算法变为深度优先搜索。在每个级别，对于每个候选节点，计算排除的元素集，即当前排除的元素与候选节点排除的元素的并集。按排除元素最少到最多的顺序尝试候选节点。跟踪到目前为止最好的解决方案（排除的节点最少）。修剪比当前最佳值更差的任何子树

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作为以可能遗漏的解决方案为代价的轻微改进，您可以使用Bloom过滤器跟踪排除的集合。

不同的解决方案。事实证明，这里有很多对称性，答案比我最初想象的要简单得多。你能做的最多的事情是唯一的X和唯一的Y中的最小值，如果你只想得到结果的话，这就是O（NlogN）

每一个其他形状都相当于一个包含点的矩形，因为从矩形中心拉取多少点并不重要，顺序也不重要（如果按以下方式处理）从现在开始拾取点的任何形状都有一个不唯一的X和一个不唯一的Y，就像矩形一样

所以最优解与连通性无关。选择最小尺寸边缘上的任何点（即，如果len（唯一Xs）>len（唯一Ys），则选择具有最大或最小X的任何点）。不管它有多少个连接，哪一个维度是最大的，这都可以在查看上面创建的排序的唯一列表时轻松完成。如果保留一个unique-x和unique-y计数器，并在删除列表中该元素中的所有唯一节点时将其递减，则每次删除为O（1），重新计算长度为O（1）。因此，重复这N次最坏是O（N），最终的复杂度是O（NlogN）（完全由于排序）

您可以沿最短边拾取任何点，因为：

• 如果这条边上只有一条，你最好现在就把它挑出来，否则其他东西会把它消除
• 如果有一个以上的边缘，谁在乎，你会消除所有与你的选择无论如何

基本上，您在每个点上都最大化了“max（uniqX，uniqY）”

更新：捕获到边缘案例：

如果尺寸相等，则取点最少的边。即使它们不相等，也要从点数最少的唯一堆栈中选取顶部或底部

例如：

第1轮：

• 要点：

  （1,2）；(3, 5); (10, 5); (10, 2); （10,3）

• 有3个唯一的X:

  1、3、10

• 有3个唯一的Y:

  2、3、5

• “边界框”是

  （1,5）、（10,5）、（10,2）、（1,2）

反应1：

• 点最少的“外边缘”（最外面的唯一点或唯一点列表）位于左侧。基本上，看看x=1，x=10和y=2，y=5中的点集。x=1的集合是最小的：一个点。选择x=1的唯一点->

  （1,2）

• 这也消除了

  （10,2）

第二轮：

• 要点：

  （3,5）；(10, 5); （10,3）

• 有两个唯一的X:

  3，10

• 有两个唯一的Y:

  3，5

• “边界框”是

  （3,5）、（10,5）、（10,3）、（3,3）

反应2：

• 具有以下属性的边界框的“边”

  points = {
      0 : [0, 1],
      1 : [0],
      2 : [1, 2],
  }
  
  selected = bipartiteMatch(points)[0]
  
  for x, y in selected.iteritems():
      print '(%i, %i)' % (x, y)
  
  print 'Total: %i' % len(selected)