Algorithm 递推T（n）=T（n/2）和#x2B的解；仅使用感应的sqrt（n）

我想证明当T（1）=1时，T（n）=T（n/2）+sqrt（n）是O（sqrt（n）） 仅使用归纳法。 使用主定理很容易解决，但事实并非如此。 我试着假设

T（n/2） 但在剩下的证据中，我们并没有走得很远。 提前感谢大家的回答

编辑： 我的解决方案（在上述假设之后）是：

---

T（n）好的，你接近了。所以基本上，正如我在评论中提到的，基本情况很简单。对于归纳法的情况，您希望证明T（n）是O（sqrt（n）），因为T（n/2）是O（sqrt（n/2））

所以，它是这样的：

T(n) = T(n/2) + sqrt(n)               ; this is just your recurrence
     < c sqrt(n/2) + sqrt(n)          ; since T(n/2) is O(sqrt(n))
                                      ; wlog here, assume c > 4
     = c sqrt(n) / sqrt(2) + sqrt(n)
     = (c/sqrt(2) + 1) sqrt(n)

T（n）=T（n/2）+sqrt（n）；这只是你的复发
4
=c sqrt（n）/sqrt（2）+sqrt（n）
=（c/sqrt（2）+1）sqrt（n）

观察c>4时，c/sqrt（2）+1

(c/sqrt(2) + 1) sqrt(n) < c sqrt(n)

（c/sqrt（2）+1）sqrt（n）

所以

T（n）

因此，T（n）是O（sqrt（n））

所以这里有几个关键点你没有注意到

---

首先，你可以把c增加到你想要的任何值。这是因为大O只需要好的，你很接近了。所以基本上，正如我在评论中提到的，基本情况很简单。对于归纳法的情况，您希望证明T（n）是O（sqrt（n）），因为T（n/2）是O（sqrt（n/2））

所以，它是这样的：

T(n) = T(n/2) + sqrt(n)               ; this is just your recurrence
     < c sqrt(n/2) + sqrt(n)          ; since T(n/2) is O(sqrt(n))
                                      ; wlog here, assume c > 4
     = c sqrt(n) / sqrt(2) + sqrt(n)
     = (c/sqrt(2) + 1) sqrt(n)

T（n）=T（n/2）+sqrt（n）；这只是你的复发
4
=c sqrt（n）/sqrt（2）+sqrt（n）
=（c/sqrt（2）+1）sqrt（n）

观察c>4时，c/sqrt（2）+1

(c/sqrt(2) + 1) sqrt(n) < c sqrt(n)

（c/sqrt（2）+1）sqrt（n）

所以

T（n）

因此，T（n）是O（sqrt（n））

所以这里有几个关键点你没有注意到

---

首先，你可以把c增加到你想要的任何值。这是因为大O只需要一条思路，这可能有助于递归地扩展重复性。你得到

T(n) = sqrt(n) + sqrt(n/2) + sqrt(n/4) + ... + sqrt(n/(2^k)) + ... + sqrt(1)
     = sqrt(n) + sqrt(n)/sqrt(2) + sqrt(n)/sqrt(4) + ... + sqrt(n)/sqrt(2^k) + ... + sqrt(1)
     = sqrt(n) * (1 + sqrt(1/2) + sqrt(1/2)^2 + ... + sqrt(1/2)^k + ...)
     <= sqrt(n) * ∑(k=0 to ∞) sqrt(1/2)^k
     = sqrt(n) * 1/(1 - sqrt(1/2))

T（n）=sqrt（n）+sqrt（n/2）+sqrt（n/4）+……+sqrt（n/（2^k））+…+sqrt（1）
=sqrt（n）+sqrt（n）/sqrt（2）+sqrt（n）/sqrt（4）+sqrt（n）/sqrt（2^k）+…+sqrt（1）
=sqrt（n）*（1+sqrt（1/2）+sqrt（1/2）^2+…+sqrt（1/2）^k+…）
一种可能有帮助的思路是递归地扩展递归。你得到

T(n) = sqrt(n) + sqrt(n/2) + sqrt(n/4) + ... + sqrt(n/(2^k)) + ... + sqrt(1)
     = sqrt(n) + sqrt(n)/sqrt(2) + sqrt(n)/sqrt(4) + ... + sqrt(n)/sqrt(2^k) + ... + sqrt(1)
     = sqrt(n) * (1 + sqrt(1/2) + sqrt(1/2)^2 + ... + sqrt(1/2)^k + ...)
     <= sqrt(n) * ∑(k=0 to ∞) sqrt(1/2)^k
     = sqrt(n) * 1/(1 - sqrt(1/2))

T（n）=sqrt（n）+sqrt（n/2）+sqrt（n/4）+……+sqrt（n/（2^k））+…+sqrt（1）
=sqrt（n）+sqrt（n）/sqrt（2）+sqrt（n）/sqrt（4）+sqrt（n）/sqrt（2^k）+…+sqrt（1）
=sqrt（n）*（1+sqrt（1/2）+sqrt（1/2）^2+…+sqrt（1/2）^k+…）
归纳法要求你知道给出给你的解决方案。这是一种非建设性的证明方法。基本情况很清楚。你需要证明的是，如果这个断言对1是真的，那么它对n是真的……n-1。我试图理解你等式中大“T”和小“T”的区别。@trumpetlicks，我认为这是一个typo@thang-这就是我想的：-）好的提示#2：假设T（n/2）是O（sqrt（n/2））=O（sqrt（n）），说明T（n）是O（sqrt（n））。该死的乳胶在这里不起作用。诱导要求你知道给你的解决方案。这是一种非建设性的证明方法。基本情况很清楚。你需要证明的是，如果这个断言对1是真的，那么它对n是真的……n-1。我试图理解你等式中大“T”和小“T”的区别。@trumpetlicks，我认为这是一个typo@thang-这就是我想的：-）好的提示#2：假设T（n/2）是O（sqrt（n/2））=O（sqrt（n）），说明T（n）是O（sqrt（n））。该死的乳胶在这里不起作用，谢谢。我忽略了两条线相交的事实，所以忽略了常数c0，从中c总是更大。谢谢。我忽略了两条线相交的事实，所以忽略了常数c0，从中c总是更大。谢谢。实际上，我尝试了这种展开技术，但错误地将普通成员视为其他成员，这使得序列不收敛。你的回答是一个额外的见解。谢谢。实际上，我尝试了这种展开技术，但错误地将普通成员视为其他成员，这使得序列不收敛。你的回答是一个额外的见解。