Algorithm 这个算法的空间复杂度是多少？

这是破解编码面试的问题9.6（第5版）

实现一个算法来打印n对括号的所有有效组合
范例
输入：3
输出：（（））、（（））、（（））（）、（（））、（（））、（（））、（（））

下面是我实现的算法（用Java）

私有静态集getAllComb（int n）{
Set allPoss=new HashSet（）；
如果（n>0）{
如果（n==1）{
全部可能添加（“（）”）；
}否则{
Set before=getAllComb（n-1）；
for（字符串短语：before）{
int length=短语.length（）；
对于（int start=length-2；start>=0；start--）{
如果（短语.charAt（开始）='（'）{
String phraseToConsider=短语.子字符串（0，开始+1）+“（）”+
短语.子字符串（开始+1）；
如果（！allPoss.contains（phraseToConsider））{
所有可能添加（措辞考虑）；
}
}
}
字符串短语toconsider=“（）”+短语子字符串（0）；
如果（！allPoss.contains（phraseToConsider））{
所有可能添加（措辞考虑）；
}
}
}
}
返回allpos；
}

这会产生正确的输出。我知道面试官（至少在亚马逊）喜欢问你解决方案的时间和空间复杂性。对于时间复杂性，我能够证明算法在O（n）中运行使用递归关系。我在分析空间复杂性方面遇到困难。这是一个递归解决方案，因此它至少应该是O（n），但在每次递归调用时，我也生成一个以n为界的集。由于n个递归调用，总空间是O（n）还是O（n2）因为为每个递归调用设置了绑定n的大小n

对于时间复杂度，我能够证明该算法在O（n）中运行，并且具有递归关系

这是错误的。平衡圆括号的序列数由以下公式给出：此类序列的数量是指数级的。如果您的算法也能正确地解决问题，那么它就不可能是线性的，因为仅仅输出指数级的解本身就需要指数级的时间

至于内存复杂性，您似乎在递归的每个步骤中存储了

n-1

的所有解决方案，因此内存复杂性在我看来也是指数级的，加上您在每个步骤中创建的其他字符串和递归调用，这只会增加复杂性

---

不使用指数内存就可以解决这个问题：考虑一下如何摆脱存储所有以前的序列。

写入n对正确匹配的括号的方法是第n个加泰罗尼亚数，它实际上是指数增长的，而不是平方增长的。仅输出的空间复杂度就为0（2^n）；有关加泰罗尼亚数字的快速概述，请参阅

---

请注意，您并不是在每个深度进行一次递归调用，而是可能进行O（n）次递归调用。

这方面的一些技巧与您的问题没有直接关系：1）您应该能够使用n=0作为基本情况；递归问题中的常见问题是不需要特别处理n=1 2）如果使用长度为2n的缓冲区，递归调用“fill-in”，则应该能够将空间复杂度降低到O（n）。对于n=4，有14种可能的方法可以正确地编写匹配的论文。长度为2n（或kn表示任意k）的缓冲区太小，通常无法保存输出。如何使用长度为2n的缓冲区？你不能预先定义集合的大小。@HugomgI只是希望有另一个N=1的基本情况，因为这只是添加“（）”的一行代码。您不必遍历所有代码行来迭代上一个集合、所有字符串等。这真的是一个糟糕的设计吗？它本身并不坏，但额外的代码行意味着有更多的地方可以隐藏bug：）并且通常使用相同的尾码分支来处理N=1，而不是其他分支，这不会对性能造成很大影响。如果是，那么就有可疑的事情发生了……你不需要存储所有以前的序列来应用算法吗？如果不存储它们，就无法访问所有字符串并形成所有括号组合。@CommittedDroider-在每一步中，都有两种可能：放一个开括号或一个闭括号。通过这样做，您可以将内存使用保持在

O（n）

。这也会生成不平衡的序列，但如果您知道如何使它只生成平衡的序列，那么您就完成了。提示：记下你开了多少，关了多少。我不太明白你的意思。我是如何看待这个问题的，是如何找到在左括号前后加“（）”的可能性。假设我有第一个函数调用f（1），它是（）。在这种情况下，你说的每一步是什么意思，放一个开放的括号还是封闭的括号？您不需要同时放一个开放括号和一个封闭括号吗？@CommittedDroider思考如何通过从左到右放置

（

或

）

来构建解决方案：在每一步中，您必须有更多的开放而不是封闭。然后你可以回溯。打开

n

后，必须关闭其余部分。如果可以的话，一定要打开门。例如，您从

（（））

开始。然后你回溯到

（（

）（）。你可以将最后一个设置为关闭的：

（（））（

。然后，下一个可以是打开的：

（（））（

。现在你只能将其余的设置为关闭：

（（））

等等。通过你所做的，我看到了从（（（））到（（））的过程，但你如何从（（（））到（（））呢？您会首先将其回溯到什么？您所说的“注意，您并没有在e上进行一次递归调用”是什么意思

private static Set<String> getAllComb(int n) {
      Set<String> allPoss = new HashSet<String>();
      if(n>0) {
          if(n==1) {
              allPoss.add("()");
          } else {
              Set<String> before = getAllComb(n-1);
              for(String phrase: before) {
                  int length = phrase.length();
                  for(int start = length - 2; start>=0; start--) {
                      if(phrase.charAt(start) == '(') {
                          String phraseToConsider = phrase.substring(0, start+1) + "()" +
                               phrase.substring(start + 1);
                          if(!allPoss.contains(phraseToConsider)){
                              allPoss.add(phraseToConsider);
                          }
                      }
                  }
                  String phraseToConsider = "()" + phrase.substring(0);
                  if(!allPoss.contains(phraseToConsider)){
                      allPoss.add(phraseToConsider);
                  }
              }
          }
      }
      return allPoss;
}