Algorithm 生长在克鲁斯卡尔的边缘组'；s算法

设G=（V，E）是一个加权连通无向图。设T为在Kruskal算法中生长的边集，在k次迭代后停止（因此T可能包含少于| E |-1条边）。设W（T）为该集合的加权和。 设T'是一个酰基边集，使得| T |=| T'|。证明W（T） 设

T'

为边集，使

|T |=|T'|

。证明了

W（T）1

顶点和

T

是

G

的最小生成树。让

e

成为

T

中的一条边。 然后通过识别

e

的两个端点

a

和

b

，将

T\{e}

投影到从

G

获得的图

G'

的最小生成树。相反，如果

T'

是

G

的一组边，这些边投影到

G'

的最小生成树，则

T'∪ {e} 

是

G

的最小生成树

证明：让

p:G->G'

作为标识

a

和

b

的投影

然后

p（T\{e}）

没有循环

假设

p（T\{e}

包含一个循环

C

。然后

p^（-1）（C）

必须是连接

a

和

b

的路径。但是

T

将包含循环

p^（-1）（C）∪ {e} 

，与

T

是树的前提相矛盾

因此

p（T\{e}

是

G'

的边的无圈集，基数

N-2

，这意味着（见上文）它是一个生成树

设

T'

是

G'

和

S=p^（-1）（T'）

的最小生成树

然后

S∪ {e} 

没有循环

如果在

S

中有一个循环，它将投射到

T'

中的一个循环，因此

S中的每个循环∪ {e} 

必须包含

e

。假设

C

是

S中的一个循环∪ {e} 

。然后

C\{e}

是连接

a

和

b

的路径，因此

C\{e}

投影到

G'

中的一个循环，因为

a

和

b

投影到

G'

的同一顶点。这与

T'

是树的前提相矛盾

所以

S∪ {e} 

是基数

N-1

的边集，没有圈，因此（见上文）是

G

的生成树

然后

W（T）G'

投影

让

T

成为算法选择的边集

然后

p（T\{e}）

是Kruskal算法在

G'

上选择的边集。因此，通过上面的引理，

T

是

G

的最小生成树

（好吧，也许维基百科中的证明更简单，但我想制作一个不同的证明。）

设

T'

为边集，使

|T |=|T'|

。证明了

W（T）1

顶点和

T

是

G

的最小生成树。让

e

成为

T

中的一条边。 然后通过识别

e

的两个端点

a

和

b

，将

T\{e}

投影到从

G

获得的图

G'

的最小生成树。相反，如果

T'

是

G

的一组边，这些边投影到

G'

的最小生成树，则

T'∪ {e} 

是

G

的最小生成树

证明：让

p:G->G'

作为标识

a

和

b

的投影

然后

p（T\{e}）

没有循环

假设

p（T\{e}

包含一个循环

C

。然后

p^（-1）（C）

必须是连接

a

和

b

的路径。但是

T

将包含循环

p^（-1）（C）∪ {e} 

，与

T

是树的前提相矛盾

因此

p（T\{e}

是

G'

的边的无圈集，基数

N-2

，这意味着（见上文）它是一个生成树

设

T'

是

G'

和

S=p^（-1）（T'）

的最小生成树

然后

S∪ {e} 

没有循环

如果在

S

中有一个循环，它将投射到

T'

中的一个循环，因此

S中的每个循环∪ {e} 

必须包含

e

。假设

C

是

S中的一个循环∪ {e} 

。然后

C\{e}

是连接

a

和

b

的路径，因此

C\{e}

投影到

G'

中的一个循环，因为

a

和

b

投影到

G'

的同一顶点。这与

T'

是树的前提相矛盾

所以

S∪ {e} 

是基数

N-1

的边集，没有圈，因此（见上文）是

G

的生成树

然后

W（T）G'

投影

让

T

成为算法选择的边集

然后

p（T\{e}）

是Kruskal算法在

G'

上选择的边集。因此，通过上面的引理，

T

是

G

的最小生成树

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（好的，也许维基百科中的证明更简单，但我想制作一个不同的证明。）

谢谢！你说得对。我忘了提到T'Updated中没有循环。在这里移植正确性证明有什么意义吗？是的，我仍然不知道如何证明它…请注意，我们不知道t'是否连接抱歉，不干净！你说得对。我忘了提到T'Updated中没有循环。在这里移植正确性证明有什么意义吗？是的，我仍然不知道如何证明它…请注意，我们不知道t'是否连接抱歉，不清楚

   1
 A---B
2 \ / 3
   C
   | 4
   D

W(T') = 6 < W(T) = 7

V = |T'| + k

V = |T| + 1 = |T'| + 1

W(p(T \ {e})) = W(T \ {e}) <= W(S) = W(T'')