Arrays 线性时间内两个离散随机变量求和的概率质量

给定两个离散随机变量，它们的（任意）概率质量函数

a

和

b

和一个自然数

N

，使得这两个变量都具有域

[0..N]

（因此函数可以表示为数组），函数对应的随机变量具有给定和的概率（即

P（a+B==target）

）可以在O（N）时间内通过将数组视为向量并使用其点积来计算，尽管其中一个输入被反转，两个输入被重新切片，以便对齐它们并消除边界错误；因此

a

的每个位置

i

与

b

的位置

j

匹配，使得

i+j==target

。这样的算法看起来像这样：

——与dotProduct和sum运行时相同；其他成分为O（1）
向量整数->向量整数->整数->比率整数
P a b目标|长度a/=长度b=未定义
|简而言之，你有一个变换F（称为离散傅里叶变换），它将大小为N的向量集映射到它自身，这样

F(a*b) = F(a).F(b)

其中，
*
是您刚才描述的卷积运算符，
是标准的点积

而且
F
是可逆的，因此您可以将
a*b
恢复为

a*b = F^{-1}(F(a).F(b))

现在这一切都很好，但关键点是
F
（和
F^{-1}
）可以在
O（N log（N））
时间内使用称为快速傅立叶变换（FFT）的东西进行计算。因此，由于通常的点积
可以在
O（N）
中计算，因此您可以获得用于计算两个分布的卷积的
O（N log（N））
算法

因此，我建议你查一查。
啊，我刚才看到的子操作确实有一个名字！今天我学习了什么是离散卷积。谢谢。作为遗言：我最近发现了我“应该”看到这个问题的方式：和的概率质量函数正是基于FFT的多项式乘法（其中，对于给出的第一个例子，P（a=I）是x^I上的系数）。