C 我能'；我不明白这个霍纳'；扩展域GF（p^n）中的s规则实现

我试图了解Shamir的秘密共享方案的实现，我正在与扩展域GF（p^n）中的Horner规则作斗争：

为什么

add

首先出现，然后才是

mult

？算法是什么？为什么不这样做呢：

  mpz_set(y,coeff[n-1]);
  for(i = n - 2; i!=-1; i--) {
    field_mult(y, y, x);
    field_add(y,y,coeff[i]);
  }

---

将这个

horner

函数与普通的加法和乘法符号进行转换，我们得到：

y = x;                     // mpz_set(y, x);
for(i = n - 1; i; i--) {
    y = y + coeff[i];      // field_add(y, y, coeff[i]);
    y = y * x              // field_mult(y, y, x);
}
y = y + coeff[0]           // field_add(y, y, coeff[0]);

因此，这将计算以下内容：

您可以看到它不计算任何多项式，但它是Horner算法的一个变体，用于计算多项式

现在你的建议是：

y = coeff[n-1];               // mpz_set(y,coeff[n-1]);
for(i = n - 2; i!=-1; i--) {
    y = y * x;                // field_mult(y, y, x);
    y = y + coeff[i];         // field_add(y,y,coeff[i]);
}

因此，您可以计算以下内容：

您可以看到缺少最高阶项

如果希望所有操作都在循环体中，可以。 毕竟，对一系列交替指令进行不同分解只有两种方法：

operation    value of y                                    loop iteration
                                                 add-mult loop      mult-add loop
                x                               initialization         n-1
add       x + coeff[n-1]                             n-1               n-1
mult     (x + coeff[n-1]) * x                        n-1               n-2
add      (x + coeff[n-1]) * x + coeff[n-2]           n-2               n-2
mult    ((x + coeff[n-1]) * x + coeff[n-2]) * x      n-2               n-3
          ...etc...

但是您需要显式地将

y

初始化为值

1

（这是隐式的

coeff[n]

），这样您就可以开始乘以

x

，得到正确的最高阶项

y = 1;                        // mpz_set(y,1);
for(i = n - 1; i!=-1; i--) {  // NOTICE n - 1 NOT n - 2
    y = y * x;                // field_mult(y, y, x);
    y = y + coeff[i];         // field_add(y,y,coeff[i]);
}

您可以计算您现在执行了一次以上的乘法，并且它正在乘法

1*x

。在有限域上，这通常是通过log和antilog表来完成的，所以您最好避免这种无用的乘法，特别是如果您要对多项式进行大量求值的话

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TL；DR：这种编写Horner算法的方法将最后一个加法和第一个乘法放在循环体之外。因为最高阶系数是

1

，所以此乘法将被完全删除。

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澄清：保留最高阶项，但随后是

x^n

，而不是

1*x^n

。为了得到完全相同的结果，您可以使用一次乘法。

第二个变量缺少x^n项。主要问题：为什么在本例中使用（）？“因为最高阶系数为1，所以此乘法将被完全删除。”如果删除，为什么在上面的公式中需要“x^n”？和系数1一样，它被去掉了？是我无法理解的。。。n=3:y=（（1x+C[2]）x+C[1]）x+C[0]=x^3+C[2]x^2+C[1]x+C[0]。“x^3”发生了什么？谢谢。是的，明白了：mpz_集ui（y，1）而不是mpz_集（y，x），我的意思是：as:f（x）=a0+a1x+a2x2+…+akxk=a[k]x^k之和。x^n是从哪里来的？n=3:y=（（x+C[2]）x+C[1]）x+C[0]=**x^3**+C[2]x^2+C[1]x+C[0]。x=2:*8**+4C[2]+2C[1]+C[0]不同的4C[2]+2C[1]+C[0]。您的表达式在一般情况下有效。在这个具体的实现中，您看到的是一个函数，它总是返回一个多项式，其中a[n]=1。很抱歉，我仍然无法理解为什么在这个实现中x^n没有系数c[n]，即x^n+sum c[I]x^I，0..n-1而不是sum c[I]x^I 0..n。如果您看到这个函数，没有什么原因。为什么是这样写的？因为程序员需要。他为什么需要这个？好吧，你得问问他或者看看剩下的算法。但是现在，你知道这个函数到底做什么了。

y = 1;                        // mpz_set(y,1);
for(i = n - 1; i!=-1; i--) {  // NOTICE n - 1 NOT n - 2
    y = y * x;                // field_mult(y, y, x);
    y = y + coeff[i];         // field_add(y,y,coeff[i]);
}