GCD函数递归运行时间（欧几里德算法）

我只能找到关于如何递归和迭代地实现gcd函数的帖子，但是我找不到这篇。我确信它在Stackoverflow上，但是我找不到它，所以如果是重复的帖子，我道歉

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我看过维基百科（）上的分析，无法理解它们的重复关系

考虑以下在C中递归实现的GCD函数的实现。它有一个先决条件，即两个数字都必须是正数，但与运行时无关

int gcd( int const a, int const b ) {
  // Checks pre conditions.
  assert( a >= 0 );
  assert( b >= 0 );

  if ( a < b ) return gcd( b, a );

  if ( b == 0 ) return a;

  return gcd( b, a % b );
}

int-gcd（int-const a，int-const b）{
//检查前提条件。
断言（a>=0）；
断言（b>=0）；
如果（a

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通过对运行时进行分析，我发现每个操作都是O（1），因此我们知道目前为止的递归关系是：T（n）=O（1）+？？？。现在要分析递归调用，我不确定如何将a（mod b）解释为我的递归调用，以正确地说明我的递归关系。

在每个递归步骤，

gcd

将把一个参数减半（最多）。要了解这一点，请看以下两种情况：

如果

b>=a/2

，那么在下一步中，您将有

a'=b

和

b'

，因为

%

操作将从

a

中删除

b

或更多

如果

b

，那么在下一步中，您将得到

a'=b

和

b'

，因为

%

操作最多只能返回

b-1

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因此，在每个递归步骤中，

gcd

将把一个参数减半（最多）。这是O（log（N））步，其中N是初始

a

和

b

的最大值。要分析欧几里得GCD，应该使用斐波那契对：GCD（Fib[N]，Fib[N-1]）-最坏情况

如果您在上面测试您的欧几里德GCD，您将得到24个递归调用

如果您习惯于递归关系求解，以下内容可能会让您感兴趣：

通过这项研究，我们无法推断出任何除数/除数对的精确迭代次数（因此使用小Oh符号），但它保证了这个上界是有效的。

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通常，下限为ω（1）（例如，当除数为1时）。

一个简单的分析和证明如下：

显示如果

Euclid（a，b）

需要的步骤超过

N

步数，则

a>=F（n+1）

和

b>=F（n）

，其中

F（i）

是

i

th斐波那契 号码
这可以通过归纳法轻松完成

显示

F（n）

&geq；φn-1，同样由 归纳法

利用第1步和第2步的结果，我们得到了b&geq<代码>F（n）&geq； φn-1
两边取对数， 对数φb&geq；n-1

因此证明，n&leq；1 + 对数φb

这个界限可以改进。

EUCLID（ka，kb）

中的递归调用数与

EUCLID（a，b）

中的递归调用数相同，其中

k

是某个整数。

因此，边界被改进为1+logφ（b/gcd（a，b））