Coq 如何在特定子表达式中应用重写？

我正在使用在线书籍“软件基础”来了解Coq

在第二章中，要求证明“plus_assoc”定理：

我使用了两个先前证明的定理：

Theorem plus_comm : forall n m : nat, n + m = m + n.
Theorem plus_n_Sm : forall n m : nat, S (n + m) = n + (S m).

我用n上的归纳法证明了plus_assoc定理：

Proof.
  intros n m p.
  induction n as [ | n' ].
    reflexivity.

    rewrite plus_comm.
    rewrite <- plus_n_Sm.
    rewrite plus_comm.
    rewrite IHn'.
    symmetry.
    rewrite plus_comm.

我想使用plus_comm获取

p + (m + S n') = S (n' + m + p)

然后再加上

p + S (m + n') = S (n' + m + p)

S (p + (m + n')) = S (n' + m + p)

然后再加上

p + S (m + n') = S (n' + m + p)

S (p + (m + n')) = S (n' + m + p)

然后使用plus_comm完成两次证明，然后使用自反性

S (p + (n' + m)) = S (n' + m + p)
S (n' + m + p) = S (n' + m + p)

小问题是我不知道如何将plus_comm应用于（sn'+m）

最大的问题是：为什么要发行

apply plus_comm.

立即完成证明（在给定上下文（*）中）

提前感谢您的任何澄清

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Fabian Pijcke

您可以通过使用（sn'）和m对（sn'+m）进行实例化，将plus_comm应用于（sn'+m）

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这么快，这么中肯，这么完整！这充分回答了我的问题，非常感谢！此f_equal重写确实非常有用。关于2处的重写加上通信，请参见以下内容：。

    Check plus_comm.
    Check plus_comm (S n').
    Check plus_comm (S n') m.
    rewrite (plus_comm (S n') m).
    rewrite <- plus_n_Sm.
    rewrite <- plus_n_Sm.
    rewrite (plus_comm m n').
    rewrite plus_comm.
    reflexivity.
Qed.

Theorem plus_assoc : forall n m p : nat, n + (m + p) = (n + m) + p.
Proof.
induction n.
  reflexivity.

  intros.
  simpl.
  apply f_equal.
  apply IHn.
Qed.