Coq 在可能的情况下概括一个假设

假设我有一个形式的目标

forall x, A x -> B x -> P

其中，

x

不是在

p

中自由出现的（结论中不涉及绑定的

x

）。通过在这里做

介绍

，我将在我的证明中得到三个独立的假设：

x : nat
H0 : A x
H1 : B x
===============
P

但我需要强化我的假设，并得出以下结论

H0 : forall x, A x -> B x
===============
P

这样我就可以实例化

x

到我需要的任何东西

由于

x

不会出现在

p

中，因此从逻辑上讲

(forall x, A x -> B x -> P) -> ((forall x, A x -> B x) -> P)

---

我的问题是，我如何在Coq中做到这一点？

正如安东所指出的，我们需要更多的上下文来理解您试图做什么。然而，这里有一些想法可能会对你有所帮助

你首先问的是如何从这样的环境中获取信息

x  : nat
H1 : A x
H2 : B x

H : forall x' : nat, A x' -> B x'

在这样的背景下

x  : nat
H1 : A x
H2 : B x

H : forall x' : nat, A x' -> B x'

对于每个

A

和

B

，即使您知道

A

对某些数字有效，也无法实现这一点。例如，假设

ax

表示“

x

为偶数”，而

bx

表示“

x

为零”；就是

A x := exists y, x = 2 * y
B x := x = 0

第一组假设给出的唯一信息是

x

为零。然而，第二组假设是矛盾的，因为它断言每个偶数都等于零。因为你不能从一致的假设中添加矛盾的假设，所以你不能从第一个上下文到第二个上下文

当然，还有其他一些情况下，从一个上下文转到另一个上下文是可能的：如果你设法证明

所有x'，A x'->B x'

假设

A x

和

B x

在某些

x

中保持不变。为此，您需要

assert

策略。如果你执行

assert (H : forall x', A x' -> B x').

---

Coq将生成两个子目标：一个是你必须证明

forall x'，A x'->B x'

给定你以前的假设，另一个是上下文得到一个新的假设

H:forall x'，A x'->B x'

，正如安东指出的，我们需要更多的上下文来理解你想要做什么。然而，这里有一些想法可能会对你有所帮助

你首先问的是如何从这样的环境中获取信息

x  : nat
H1 : A x
H2 : B x

H : forall x' : nat, A x' -> B x'

在这样的背景下

x  : nat
H1 : A x
H2 : B x

H : forall x' : nat, A x' -> B x'

对于每个

A

和

B

，即使您知道

A

对某些数字有效，也无法实现这一点。例如，假设

ax

表示“

x

为偶数”，而

bx

表示“

x

为零”；就是

A x := exists y, x = 2 * y
B x := x = 0

第一组假设给出的唯一信息是

x

为零。然而，第二组假设是矛盾的，因为它断言每个偶数都等于零。因为你不能从一致的假设中添加矛盾的假设，所以你不能从第一个上下文到第二个上下文

当然，还有其他一些情况下，从一个上下文转到另一个上下文是可能的：如果你设法证明

所有x'，A x'->B x'

假设

A x

和

B x

在某些

x

中保持不变。为此，您需要

assert

策略。如果你执行

assert (H : forall x', A x' -> B x').

---

Coq将生成两个子目标：一个是你必须证明

forall x'，A x'->B x'

给定你以前的假设，另一个是上下文得到一个新假设

H:forall x'，A x'->B x'

你是说

forall（T:Type）（A B:T->Prop）（p:Prop），（forall x，A x->B x->p）->（对于所有x，A x->B x）->P.

是可证明的？然后有一个反例：使用

A

等于

fun.=>False

（对于所有x，A x->B x）

仍然有效，但您无法从第一个前提中恢复

P

，因为它意味着如果对于任何

x

您可以证明

A x

和

B x

，那么您将得到

P

，但在这种情况下，您无法证明

A x

（这是

False

）.好的，我明白你的意思。不过，在我的例子中，我知道至少有一个

x

，其中

A x

成立。所以，我知道我可以继续证明我的问题的最后一个陈述，作为引理，然后在我的主要证明中使用该引理，但我的问题是，是否有任何策略有助于加强这方面的假设y（因为有一些技巧可以获得你想要的归纳假设）？我认为最好是发布一个独立的例子a.k.a。我的意思是使用证明助手的目的是（非常痛苦地）精确，所以要给出精确的答案，我们需要一个精确的问题。谢谢你的关注。我会按照你的建议，在今天晚些时候创建一个单独的问题。你是说

forall（T:Type）（ab:T->Prop）（P:Prop），（forall x，a x->B x->P）->（forall x，a x->B x）->P.

是可证明的吗？然后有一个反例：使用

a

等于

fun.=>False

（对于所有x，a x->B x）

仍然有效，但您无法从第一个前提中恢复

P

，因为它意味着如果对于任何

x

您可以证明

A x

和

B x

，那么您将得到

P

，但在这种情况下，您无法证明

A x

（这是

False

）.好的，我明白你的意思。不过，在我的例子中，我知道至少有一个

x

，其中

A x

成立。所以，我知道我可以继续证明我的问题的最后一个陈述，作为引理，然后在我的主要证明中使用该引理，但我的问题是，是否有任何策略有助于加强这方面的假设y（因为有一些技巧可以获得你想要的归纳假设）？我认为最好是发布一个独立的例子a.k.a。我的意思是使用证明助手的目的是（非常痛苦地）精确，所以要给出精确的答案，我们需要一个精确的问题。感谢您的关注。我将按照您的建议，在今天晚些时候创建一个单独的问题。