大型矩阵反演方法 我一直在做矩阵反演的研究，我想用C++模板编程来实现算法，我发现有很多方法：高斯-约当消除或LU分解，我发现函数LuyFultCube（C++ Boost Loover）

我想知道是否还有其他方法，从程序员或数学家的角度来看，哪种方法更好（优点/缺点）

如果没有其他更快的方法，boost库中是否已经有（矩阵）反演函数，因为我找了很多，但一个也没找到

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我建议您看看源代码。

正如您所提到的，标准方法是执行LU分解，然后求解标识。这可以使用LAPACK库实现，例如，使用

dgetrf

（因子）和

dgetri

（计算逆）。大多数其他线性代数库具有大致相同的函数

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有一些较慢的方法，当矩阵为奇异或近似奇异时，会更优雅地降级，因此使用这些方法。例如，如果矩阵是可逆的，则逆矩阵等于逆矩阵，并且即使矩阵是不可逆的，通常也是有用的；它可以用奇异值分解来计算。

你可能想在LAPACK周围使用C++包装。LAPACK是非常成熟的代码：经过良好测试、优化等

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一个这样的包装是。

请谷歌或维基百科搜索下面的流行语

首先，确保你真的想要相反的结果。求解一个系统不需要对矩阵求逆。矩阵求逆可以通过求解n个系统来实现，其中单位基向量为右侧。所以我将重点讨论求解系统，因为它通常是您想要的

这取决于“大”是什么意思。基于分解的方法通常必须存储整个矩阵。一旦分解了矩阵，就可以一次求解多个右侧（从而可以轻松地反转矩阵）。我不会在这里讨论因式分解方法，因为您可能已经知道它们了

请注意，当矩阵较大时，其条件数很可能接近于零，这意味着矩阵在数值上是“不可逆的”。补救方法：预处理。请查看维基百科。这篇文章写得很好

如果矩阵很大，则不希望存储它。如果它有很多零，它就是一个稀疏矩阵。要么它有结构（如带对角矩阵、块矩阵等），你有专门的方法来解决涉及这些矩阵的系统，要么它没有

当你面对一个没有明显结构的稀疏矩阵，或者一个你不想存储的矩阵时，你必须使用迭代方法。它们只涉及矩阵向量乘法，不需要特殊形式的存储：您可以在需要时计算系数，或者以您想要的方式存储非零系数，等等

这些方法是：

• 对称正定矩阵：共轭梯度法。简言之，求解Ax=b相当于最小化1/2 x^T A x-x^T b
• 一般矩阵的双共轭梯度法。虽然不稳定
• 最小残差法，或最佳GMRES法。有关详细信息，请查看维基百科文章。在重新启动算法之前，您可能需要尝试迭代次数

最后，您可以使用稀疏矩阵执行某种因式分解，使用专门设计的算法来最小化要存储的非零元素的数量。

根据矩阵的实际大小，在任何给定时间，您可能只需要在内存中保留一小部分列。这可能需要重写对矩阵元素的低级写和读操作，我不确定Eigen（一个相当不错的库）是否允许这样做

对于矩阵非常大的这些非常狭窄的情况，有一个库专门用于访问主要存储在磁盘中的阵列的内存

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编辑更准确地说，如果您的矩阵没有固定在可用RAM中，首选的方法是这样做。矩阵被递归分割，直到每个矩阵都适合RAM（这当然是算法的一个调整参数）。这里最棘手的部分是避免在矩阵被拉入和拉出磁盘时，CPU因矩阵反转而耗尽。这可能需要在适当的并行文件系统中进行研究，因为即使使用StlXXL，这也可能是主要的瓶颈。不过，让我重复一遍咒语过早优化是所有编程邪恶的根源。这种邪恶只能通过编码、执行和配置文件

的净化仪式才能消除。看看wolfram会说：Max.它是一个通用矩阵还是一个特殊结构（例如三角形、正交、稀疏/密集）？此外，Boost.ublas对任何东西都很慢，但对非常小的矩阵除外。正如Vitor Py所说，如果你想要一个快速的C++线性代数库，那么就去查一下Eigen。@斯塔班：不，它是通用矩阵，为什么你认为uBlas是慢的？什么样的方面应该被模板化？我在这里有数字类型的代码模板：IMKL是一个LAPACK实现（以及更多），而不是包装器。我不是有意贬低LAPACK。我的意思是它是一个C++接口，我假设它是用Fortran写的，除非英特尔重写了所有的东西。是的，LAPACK是用FORTRAN写成的，但是IMKL是399美元！D是开源的，非常好。据我所知，它是免费的，但如果您想分发它，则需要额外的再分配协议。感谢Staffan的帮助，我现在正在查看所有的LIB和learning@ismail：当然可以，但那其实并不重要。这是一个图书馆；不管它是用C、Fortran、Prolog还是Scheme实现的，您都可以