C++ 在点周围拟合矩形

我尝试在一组8个2D点周围拟合一个矩形，同时尝试最小化覆盖区域

例如：

矩形可以缩放和旋转。但是，它需要保持矩形

我的第一种方法是对每个可能的旋转施加暴力，使矩形尽可能接近，然后计算覆盖面积。最适合的是最小面积的旋转

然而，这听起来并不是最好的解决方案

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有更好的方法吗？

已经证明，一组点的最小面积矩形与集合的凸面外壳多边形的一条边共线[Freeman，Shapira 1975]

该问题的O（nlogn）解决方案发表在[Allison，Noga，1981]

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在[Arnon，Gieselmann 1983]中发表了一个简单而优雅的O（n）解，其中输入是凸包（的复杂性等于对输入点排序的复杂性）。解决方案基于中描述的方法。在线演示可用。

我不知道你所说的“尝试所有可能的旋转”是什么意思，因为它们有无限多个，但这个基本想法实际上产生了一个非常有效的解决方案：

第一步是计算凸包。这实际上节省了多少取决于数据的分布，但是。有一个：

• 如果这些点已经按照它们的一个坐标进行了排序，Graham扫描算法会在O（n）中进行排序。对于给定顺序中的每个点，将其连接到外壳中的前两个点，然后删除新外壳上的每个凹点（唯一候选点是与新点相邻的凹点）
• 如果没有对点进行排序，则礼品包装算法是一个简单的算法，运行速度为O（n*h）。对于从输入最左侧点开始的外壳上的每个点，检查每个点以查看它是否是外壳上的下一个点

  h

  是船体上的点数
• 承诺O（nlogh）性能，但我还没有完全了解它是如何工作的
• 另一个简单的想法是按方位角对点进行排序，然后删除凹面点。然而，一开始这看起来只是O（n+sort），但我恐怕事实并非如此

在这一点上，检查到目前为止收集到的每个角度就足够了（正如我和奥利弗·查尔斯沃思（Oliver Charlesworth）所推测的那样，埃夫根尼·克鲁耶夫（Evgeny Kluev）也正是出于这一点。最后，让我参考中的相关参考资料

对于每个方向，边界框由该间隔中每个角度的相同四个（不一定不同）点定义。对于候选方向，您将至少有一个任意选择。找到这些点可能看起来像是一项O（h^2）任务，直到您意识到轴对齐边界框的极值与开始合并的极值相同，并且连续间隔的极值点相同或连续。让我们按顺时针顺序调用极值点

A、B、C、D

，并将界定边界框的对应线设为

A、B、C、D

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那么，让我们来计算一下。边界框区域由

|a，c |*| b，d |

给出。但是a，c只是投影到矩形方向上的向量。设

u

为平行于

a

和

c

的向量，并设

v

为垂直向量。让它们在整个范围内平稳变化。用向量的说法，区域变成

（（AC.v）/|v |*（（BD.u）/|u |

=

{（AC.v）（（BD.u）}/{u | v |

。让我们也选择

u=（1，y）

。然后

v=（y，-1）

。如果

u

是垂直的，这会带来一个涉及极限和无穷大的小问题，因此在这种情况下，让我们选择

u

为水平。为了数值稳定性，让我们只需在

（1，-1）…（1,1）

之外每隔

u

旋转90°。如果需要，将区域转换为笛卡尔形式，留给读者作为练习。

当我看到这个问题时，他们想到的第一件事是使用主成分分析。我猜想最小的矩形满足两个条件：边与主轴平行，并且至少有四个点位于边上（有界点）。应该有n维的扩展

那么，你的暴力解决方案有多复杂？凸壳上有O（n）边。即使使用蛮力矩形收缩包装，也会得到O（n^2），实际使用th（n^1.5）。我希望找到更好的解决方案，而不是蛮力approach@MrSmith42-我的直觉告诉我相反；凸包的一条边将是最小矩形的一部分。虽然还不能证明…@Smith42先生我会试着将边界框与最上面的两点对齐。所以。。。计算凸壳；对于凸面外壳方向mod 90度之间的每个角度范围，矩形由相同的四个点限定。求相应面积函数的最小值（其形式事先已知）。最低限度，嗯？与主轴平行的边？那么，为什么安装的矩形会倾斜？我的显示器弯曲了吗？主轴与显示器的边缘不平行。它们是由点决定的。啊，所以你定义了边的方向。。。一点也不PSee 3D游戏编程和计算机图形学数学，第8.1.1节（pp212及以后）