C++ 傅立叶变换浮点问题

我正在为图像实现一种传统的（也就是说不快的）分离傅里叶变换。我知道，在浮点运算中，等距样本中一个周期的sin或cos之和并不是完全为零，这是常规变换比快速变换更大的问题

该算法适用于二维双阵列，是正确的。反向是在内部完成的（使用非对称公式时通过双符号标志和条件检查），而不是在外部执行共轭。结果几乎100%符合预期，因此这是一个关于细节的问题：

当我执行正向变换时，将对数幅值和角度保存到图像，重新加载它们，然后执行逆变换，我会遇到不同类型的舍入误差，使用不同类型的实现公式：

F（u，v）=和（x=0->M-1）和（y=0->N-1）F（x，y）*e^（-i*2*pi*u*x/M）*e^（-i*2*pi*v*y/N）

f（x，y）=1/M*N*（如上所述）

F（u，v）=1/sqrt（M*N）*（如上所述）

f（x，y）=1/sqrt（M*N）*（如上所述）

第一个是非对称变换对，第二个是对称变换对。对于非对称对，舍入误差在图像的亮点中更大（一些像素被舍入到稍微超出值范围（例如256））。对于对称对，误差更多地出现在图像的恒定中间区域（不超过值范围！）。总的来说，对称对似乎会产生更多的舍入误差

然后，它还取决于输入：当图像存储在[0255]中时，舍入误差与存储在[0,1]中时不同

所以我的问题是：如何实现一个最优、最精确的算法（理论上，没有代码）：不对称/对称对？[0255]或[0,1]中输入的值范围？如何在将对数结果保存到文件之前线性放大结果

编辑：

我的算法只是计算分离的不对称或对称DFT公式。使用欧拉恒等式将因子分解为实部和虚部，然后分别展开和汇总为实部和虚部：

sum_re += f_re * cos(-mode*pi*((2.0*v*y)/N)) - // mode = 1 for forward, -1
          f_im * sin(-mode*pi*((2.0*v*y)/N));  // for inverse transform
// sum_im permutated in the known way and + instead of -

在我看来，这种将内部cos和sin分组的值应该给出最低的舍入误差（与例如

cos（-mode*2*pi*v*y/N）相比）

），因为不会将显著错误舍入的跨入pi相乘/相除几次，而只是一次。不是吗

比例因子

1/M*N

或

1/sqrt（M*N）

在最内层总和之外的每次分离后分别应用。里面更好吗？还是在两次分离结束时完全合并

为了进行更深入的分析，我退出了

input->transform->save to file->read from file->transform^-1->output

工作流，并选择直接进行双精度比较：

input->transform->transform^-1->output

这里是实际704x528 8 8位图像的结果（增量=输入和输出的实际部分之间的最大绝对差值）：

• 输入在[0,1]内，不对称公式：δ=2.6609e-13（对应于[0255]范围内的6.785295e-11）
• 输入insde[0,1]和对称公式：delta=2.65232e-13（对应于[0255]范围的6.763416e-11）
• 输入在[0255]内，不对称公式：δ=6.74731e-11
• 输入在[0255]内，对称公式为：δ=6.7871e-11

这些都不是真正意义上的显著差异，但是，非对称转换的全范围输入效果最好。我认为16位输入的值可能会变差

但总的来说，我发现我遇到的问题更多的是因为保存到文件（或反向）舍入错误之前的缩放，而不是真正的转换舍入错误

---

然而，我很好奇：傅里叶变换最常用的实现是什么：对称还是非对称？输入[0,1]或[0255]通常使用哪个值范围？以及通常以对数刻度显示的光谱：例如，[0,1]输入的不对称变换后的[0，M*N]直接对数刻度为[0255]，或线性刻度为[0255*M*N]之前的[0，M*N]？

刻度会导致舍入误差。因此，解决方案1（缩放一次）优于解决方案2（缩放两次）。类似地，求和后缩放一次比求和前缩放所有对象要好

您是从

0

运行到

2*N

还是从

-N

运行到

+N

？数学上是一样的，但在后一种情况下，你有额外的精度

---

顺便问一下，在

cos（-mode*stuff）

中

mode

在做什么

您报告的错误很小，很正常，通常可以忽略。只需缩放结果并将目标间隔之外的任何结果钳制到端点即可

在FFT的库实现中（即编写供不同应用程序通用的FFT例程，而不是为单个应用程序定制的），很少考虑可伸缩性；该例程通常只返回由算术自然缩放的数据，而不使用额外的乘法运算来调整缩放。这是因为刻度通常与应用无关（例如，无论刻度是什么，都可以找到能量最大的频率），或者刻度可以通过乘法运算分布，并且只执行一次（例如，应用程序不需要在正变换和逆变换中进行缩放，而只需显式缩放一次即可获得相同的效果）。因此，由于通常不需要缩放，因此没有必要将其包含在库例程中

数据缩放到的目标间隔取决于应用程序

---

关于使用什么变换（对数或线性）来显示光谱的问题，我不能给出建议；我不使用可视化光谱。

如果您使用相同的核心算法，并且只是缩放结果，则