将数据拟合为三次多项式 我现在正在编写一个C++程序，其中有独立的和依赖的数据向量，我想适合三次函数。然而，我在生成适合我的数据的多项式时遇到了困难

部分问题是我不能使用各种数字包，比如GSL（longtroy）；对我的案子来说，这可能是杀伤力过大了。对于最小二乘拟合，我不需要一个非常广义的解。我特别想把我的数据拟合成一个三次函数。我可以访问索尼的矢量库，它支持4x4矩阵，可以计算它们的逆矩阵，等等

在Scilab中进行原型设计时，我使用了如下功能：

function p = polyfit(x, y, n)
    m = length(x);
    aa = zeros(m, n+1)
    aa(:,1) = ones(m,1)
    for k = 2:n+1
        aa(:,k) = x.^(k-1)
    end
    p = aa\y
endfunction

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不幸的是，这不符合我当前的环境。上面的例子需要支持一个M x N+1维的矩阵。在我的例子中，这是mx4，其中M取决于我有多少样本数据。还有左除法的问题。我需要一个支持任意维矩阵求逆的矩阵库

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是否有一种最小二乘算法可以避免计算aa\y，或者至少将其限制为4x4矩阵？我想我正试图将上述算法改写成一个更简单的情况，用于拟合三次多项式。我不是在寻找代码解决方案，但如果有人能为我指出正确的方向，我将不胜感激。

是的，我们可以将问题限制在使用“4x4矩阵”进行计算。一个立方体的最小二乘拟合，即使对于M个数据点，也只需要在四个未知量中解四个线性方程组。假设所有的x坐标都是不同的，系数矩阵是可逆的，因此原则上系统可以通过系数矩阵的逆解来求解。我们假设M大于4，这通常是最小二乘拟合的情况

这里有一篇关于Maple的文章，几乎完全隐藏了正在解决的问题的细节。一阶最小准则（作为平方和误差参数的系数的一阶导数）得到四个线性方程组，通常称为

您可以在代码中“组装”这四个方程，然后应用矩阵求逆或更复杂的求解策略。显然，您需要以某种形式存储数据点。一种可能是两个线性阵列，一个用于x坐标，一个用于y坐标，长度均为M，即数据点的数量

NB:我将从基于1的数组下标的角度讨论这个矩阵集合。多项式系数实际上是一个应用程序，其中基于0的数组下标使事情更干净、更简单，但用C或任何其他支持基于0的下标的语言重写它，留给读者作为练习

通过参考Mx4阵列A（其条目为x坐标数据的幂），正常方程的线性系统最容易以矩阵形式表示：

A（i，j）=第i个数据点的x坐标提升到幂j-1

让A'表示A的转置，因此A'A是4x4矩阵

如果设d为长度为M的列，包含数据点的y坐标（按给定顺序），则正规方程组如下：

A'A u=A'd

其中u=[p0，p1，p2，p3]'是具有最小二乘拟合的三次多项式的系数列：

p（x）=p0+p1*x+p2*x^2+p3*x^3

您的反对意见似乎集中在存储和/或操作Mx4阵列a或其转置的困难上。因此，我的答案将集中在如何组合矩阵A'A和列A'd，而无需一次显式存储所有A。换句话说，我们将隐式地进行指定的矩阵和矩阵向量乘法，以得到一个4x4系统，您可以求解：

C u=f

如果你认为条目C（i，j）是A'的第i行与A的第j列的乘积，加上A'的第i行实际上只是A的第i列的转置，那么应该很清楚：

C（i，j）=所有数据点上的x^（i+j-2）之和

这当然是一个通过使用基于0的下标来简化说明的地方

在长度为7的线性阵列中，累积矩阵C的条目可能是有意义的，其仅取决于i+j的值，即所谓的值，以便：

W（k）=所有数据点上的x^k之和

其中k=0，…，6。4x4矩阵C具有“条带化”结构，这意味着仅显示这七个值。在数据点的x坐标列表上循环，可以在W的适当条目中累积每个数据点的每个幂的适当贡献

类似的策略可用于组合列f=A'd，即在数据点上循环并累积以下四个总和：

f（k）=所有数据点上的总和（x^k）*y

其中k=0,1,2,3。[当然，在上述总和中，值x、y是公共数据点的坐标。]

注意事项：这满足了仅使用4x4矩阵的目标。然而，人们通常试图避免显式形成正常方程的系数矩阵，因为这些矩阵在数值分析中通常被称为病态矩阵。特别是在x坐标密集的情况下，当人们试图通过反转系数矩阵来求解系统时，可能会造成困难

求解这些正态方程的一种更复杂的方法是，可以使用一次计算一个u和一个v的矩阵向量积的代码来完成（使用我们上面所说的关于A的条目）

共轭梯度法的精度通常是令人满意的，因为它采用了自然的迭代方法，特别是当人们可以用一点额外的精度计算所需的点积时。

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